質量 $m_A$ の物体Aが角度 $\theta$ の斜面上にあり、滑車を通して質量 $m_B$ の物体Bと繋がっています。物体Aは斜面を下向きに加速度 $a$ で滑り、斜面には動摩擦係数 $\mu'$ の摩擦力が働いています。糸の張力を $T$ とし、加速度 $a$ と張力 $T$ を求める問題です。

1. 問題の内容

質量 $m_A$ の物体Aが角度 $\theta$ の斜面上にあり、滑車を通して質量 $m_B$ の物体Bと繋がっています。物体Aは斜面を下向きに加速度 $a$ で滑り、斜面には動摩擦係数 $\mu'$ の摩擦力が働いています。糸の張力を $T$ とし、加速度 $a$ と張力 $T$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

物体Aと物体Bそれぞれについて運動方程式を立てます。

* 物体Aについて:

斜面に平行な方向の運動方程式は以下のようになります。

$m_A a = m_A g \sin\theta - T - \mu' N$

ここで、$N$ は垂直抗力であり、$N = m_A g \cos\theta$ です。したがって、

$m_A a = m_A g \sin\theta - T - \mu' m_A g \cos\theta$

これを整理すると、

$m_A a = m_A g (\sin\theta - \mu' \cos\theta) - T$ ...(1)

* 物体Bについて:

下向きを正とすると、運動方程式は以下のようになります。

$m_B a = m_B g - T$

これを整理すると、

$T = m_B g - m_B a$ ...(2)

(2)式を(1)式に代入します。

$m_A a = m_A g (\sin\theta - \mu' \cos\theta) - (m_B g - m_B a)$

$m_A a = m_A g \sin\theta - \mu' m_A g \cos\theta - m_B g + m_B a$

$m_A a - m_B a = m_A g \sin\theta - \mu' m_A g \cos\theta - m_B g$

$(m_A - m_B)a = g(m_A \sin\theta - \mu' m_A \cos\theta - m_B)$

$a = \frac{g(m_A \sin\theta - \mu' m_A \cos\theta - m_B)}{m_A + m_B}$

次に、求めた $a$ を(2)式に代入して $T$ を求めます。

$T = m_B g - m_B \frac{g(m_A \sin\theta - \mu' m_A \cos\theta - m_B)}{m_A + m_B}$

$T = \frac{m_B g (m_A + m_B) - m_B g (m_A \sin\theta - \mu' m_A \cos\theta - m_B)}{m_A + m_B}$

$T = \frac{m_A m_B g + m_B^2 g - m_A m_B g \sin\theta + \mu' m_A m_B g \cos\theta + m_B^2 g}{m_A + m_B}$

$T = \frac{m_A m_B g (1 - \sin\theta + \mu' \cos\theta) + 2 m_B^2 g}{m_A + m_B}$

$T = \frac{m_B g[m_A(1-\sin\theta + \mu'\cos\theta)+m_B]}{m_A + m_B}$

3. 最終的な答え

加速度 $a$ は

$a = \frac{g(m_A \sin\theta - \mu' m_A \cos\theta - m_B)}{m_A + m_B}$

張力 $T$ は

$T = \frac{m_B g[m_A(1-\sin\theta + \mu'\cos\theta)+m_B]}{m_A + m_B}$