ばね定数 $k$ のばねに質量 $M$ の小球が繋がれている。ばねを自然長から $2a$ だけ縮めて静かに放したとき、ばねが初めて自然長になったときの小球の速さ $v_0$ を $M$, $k$, $a$ で表す問題。

1. 問題の内容

ばね定数 $k$ のばねに質量 $M$ の小球が繋がれている。ばねを自然長から $2a$ だけ縮めて静かに放したとき、ばねが初めて自然長になったときの小球の速さ $v_0$ を $M$, $k$, $a$ で表す問題。

2. 解き方の手順

力学的エネルギー保存の法則を用いる。

ばねが縮んでいる状態では、ばねの弾性エネルギーが蓄えられている。

このエネルギーは、ばねが自然長に戻る際に小球の運動エネルギーに変換される。

初期状態（ばねが $2a$ だけ縮んでいる状態）では、小球は静止しているので運動エネルギーは $0$。

ばねの弾性エネルギーは、$\frac{1}{2}k(2a)^2 = 2ka^2$。

最終状態（ばねが自然長になった状態）では、ばねの弾性エネルギーは $0$。

小球の運動エネルギーは、$\frac{1}{2}Mv_0^2$。

力学的エネルギー保存の法則より、

$2ka^2 = \frac{1}{2}Mv_0^2$

これを $v_0$ について解く。

$v_0^2 = \frac{4ka^2}{M}$

$v_0 = \sqrt{\frac{4ka^2}{M}}$

3. 最終的な答え

$v_0 = \sqrt{\frac{4ka^2}{M}}$