1kgあたり1500円で仕入れた食料品を、1kgあたり2000円で売ると1日に800kg売れる。売値を1kgあたり10円値下げまたは値上げするごとに、売上量が20kgずつ増加または減少する。1日あたりの利益を最大にするためには、1kgあたりの売値をいくらにすればよいか、また、そのときの1日あたりの売上量はいくらか。

1. 問題の内容

1kgあたり1500円で仕入れた食料品を、1kgあたり2000円で売ると1日に800kg売れる。売値を1kgあたり10円値下げまたは値上げするごとに、売上量が20kgずつ増加または減少する。1日あたりの利益を最大にするためには、1kgあたりの売値をいくらにすればよいか、また、そのときの1日あたりの売上量はいくらか。

2. 解き方の手順

1. 売値を $x$ 円としたとき、値下げまたは値上げした回数を $n$ とすると、$x = 2000 + 10n$ となる。$n$ が負のとき値下げ、正のとき値上げを表す。

2. このときの売上量は $800 - 20n$ kg となる。

3. 1日あたりの利益 $P$ は、売上金額から仕入れ金額を引いたものなので、

$P = (2000 + 10n)(800 - 20n) - 1500(800 - 20n)$

$= 1600000 - 40000n + 8000n - 200n^2 - 1200000 + 30000n$

$= -200n^2 + 18000n + 400000$

4. 利益 $P$ を最大にする $n$ を求める。$P$ は $n$ の2次関数なので、平方完成して最大値を求める。

$P = -200(n^2 - 90n) + 400000$

$= -200(n^2 - 90n + 2025 - 2025) + 400000$

$= -200((n - 45)^2 - 2025) + 400000$

$= -200(n - 45)^2 + 405000 + 400000$

$= -200(n - 45)^2 + 805000$

5. $n = 45$ のとき、$P$ は最大値805000をとる。

6. このときの売値 $x$ は、$x = 2000 + 10 \times 45 = 2000 + 450 = 2450$ 円

7. このときの売上量 $800 - 20n$ は、$800 - 20 \times 45 = 800 - 900 = -100$ となるが、売上量が負になることはありえないので、 $n$ の範囲を考慮する必要がある。

売上量は必ず正なので $800-20n \ge 0$ を満たす必要がある。よって $20n \le 800$ より $n \le 40$ となる。

したがって、$n=45$ は条件を満たさない。$n \le 40$ の範囲で最大となる$n$を考える。

$P$ は $n=45$ で最大値をとるので、$n \le 40$ において、$n$ が45に近いほど、$P$ は大きい。したがって、$n=40$ のときに利益が最大になる。

8. $n = 40$ のとき、売値 $x$ は、$x = 2000 + 10 \times 40 = 2000 + 400 = 2400$ 円

9. $n = 40$ のとき、売上量は $800 - 20 \times 40 = 800 - 800 = 0$ kg. このとき利益はゼロになるため、売上量は必ず正である必要があるという前提が間違っている。正しくは、売上額が正である必要がある。

売上金額が正であるという制約条件を追加すると、 $(2000 + 10n)(800-20n) \ge 0$ となる。

$2000+10n \ge 0$ かつ $800-20n \ge 0$ ならば $n \ge -200$ かつ $n \le 40$

または、$2000+10n \le 0$ かつ $800-20n \le 0$ ならば $n \le -200$ かつ $n \ge 40$

より $n \ge -200$ かつ $n \le 40$。

1

0. 利益最大となる $n$ の値を考慮すると、$n$ は整数でなければならないので、$n=40$の場合、売上量は$800 - 20 \times 40 = 0$となるため利益は0円となる。

1

1. $n$ を40より小さくすると、例えば $n=39$ とすると、

売値 $= 2000+10 \times 39 = 2390$円

売上量 $= 800 - 20 \times 39 = 800 - 780 = 20$kg

利益 $= (2390-1500) \times 20 = 890 \times 20 = 17800$円

1

2. $n$ が45に近い方が利益が大きくなることを利用すると、$n$ を40より小さく、なるべく40に近い値に設定することで、利益を最大化できる。

$n=40$付近で、$n$を増減させて利益を調べる。$n=40$のとき、利益は0円。

$n=39$のとき、利益は17800円。

$n=38$のとき、

売値 $= 2000 + 10 \times 38 = 2380$円

売上量 $= 800 - 20 \times 38 = 800 - 760 = 40$kg

利益 $= (2380 - 1500) \times 40 = 880 \times 40 = 35200$円

$n=41$とすると、売上量がマイナスとなるので、$n$は40以下の整数であることが必要。

3. 最終的な答え

1kgあたりの売値を2400円にすると、1日あたりの売上量は0kgになる。

1kgあたりの売値を2380円にすると、1日あたりの売上量は40kgになる。

この時の1日の利益は35200円となる。

この問題文の解釈が難しいですが、売上量が0以上という制約条件がある場合、

1kgあたりの売値を2380円にするのが最適と考えられます。

もし、売上額が0以上という制約条件で考えると、$n=45$のときに利益が最大になるため、1kgあたり2450円で売ればよいということになります。

売上量は-100kgとなって矛盾しますが、売上金額そのものはプラスになるため、文脈によってはこの解釈も成り立ちます。