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質量 $m$ の物体が、初期位置 $(x, y) = (0, h)$ から初速度 $v_0$ で水平方向に射出される。以下の状況における物体の運動について考える。 (1) 抵抗力がない場合、時刻 $t$ における $x, y$ 方向の速度を求める。運動方程式を微分方程式の形で書き、それを解くことによって求める。 (2) (1) の場合に、時刻 $t$ における位置を求める。 (3) 粘性抵抗（比例係数 $\gamma_1$）が働く場合、時刻 $t$ における $x, y$ 方向の速度を求める。 (4) (3) の場合に、時刻 $t$ における位置を求める。 (5) 慣性抵抗（比例係数 $\gamma_2$）が働く場合、時刻 $t$ における $x, y$ 方向の速度を求める。

応用数学力学運動方程式微分方程式抵抗力速度位置
2025/6/16
はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

質量 mm の物体が、初期位置 (x,y)=(0,h)(x, y) = (0, h) から初速度 v0v_0 で水平方向に射出される。以下の状況における物体の運動について考える。
(1) 抵抗力がない場合、時刻 tt における x,yx, y 方向の速度を求める。運動方程式を微分方程式の形で書き、それを解くことによって求める。
(2) (1) の場合に、時刻 tt における位置を求める。
(3) 粘性抵抗（比例係数 γ1\gamma_1）が働く場合、時刻 tt における x,yx, y 方向の速度を求める。
(4) (3) の場合に、時刻 tt における位置を求める。
(5) 慣性抵抗（比例係数 γ2\gamma_2）が働く場合、時刻 tt における x,yx, y 方向の速度を求める。

2. 解き方の手順

(1) 抵抗力がない場合
* 運動方程式：
* mdvxdt=0m \frac{dv_x}{dt} = 0
* mdvydt=−mgm \frac{dv_y}{dt} = -mg
* 初期条件：vx(0)=v0v_x(0) = v_0, vy(0)=0v_y(0) = 0
* 解：
* vx(t)=v0v_x(t) = v_0
* vy(t)=−gtv_y(t) = -gt
(2) 抵抗力がない場合の位置
* x(t)=∫vx(t)dt=v0t+C1x(t) = \int v_x(t) dt = v_0 t + C_1
* y(t)=∫vy(t)dt=−12gt2+C2y(t) = \int v_y(t) dt = -\frac{1}{2}gt^2 + C_2
* 初期条件：x(0)=0x(0) = 0, y(0)=hy(0) = h
* 解：
* x(t)=v0tx(t) = v_0 t
* y(t)=h−12gt2y(t) = h - \frac{1}{2}gt^2
(3) 粘性抵抗がある場合の速度
* 運動方程式：
* mdvxdt=−γ1vxm \frac{dv_x}{dt} = -\gamma_1 v_x
* mdvydt=−mg−γ1vym \frac{dv_y}{dt} = -mg - \gamma_1 v_y
* 初期条件：vx(0)=v0v_x(0) = v_0, vy(0)=0v_y(0) = 0
* 解：
* vx(t)=v0e−γ1mtv_x(t) = v_0 e^{-\frac{\gamma_1}{m}t}
* vy(t)=−mgγ1(1−e−γ1mt)v_y(t) = -\frac{mg}{\gamma_1}(1 - e^{-\frac{\gamma_1}{m}t})
(4) 粘性抵抗がある場合の位置
* x(t)=∫vx(t)dt=∫v0e−γ1mtdt=−mv0γ1e−γ1mt+C1x(t) = \int v_x(t) dt = \int v_0 e^{-\frac{\gamma_1}{m}t} dt = -\frac{m v_0}{\gamma_1} e^{-\frac{\gamma_1}{m}t} + C_1
* y(t)=∫vy(t)dt=∫−mgγ1(1−e−γ1mt)dt=−mgγ1t−m2gγ12e−γ1mt+C2y(t) = \int v_y(t) dt = \int -\frac{mg}{\gamma_1}(1 - e^{-\frac{\gamma_1}{m}t}) dt = -\frac{mg}{\gamma_1}t - \frac{m^2g}{\gamma_1^2}e^{-\frac{\gamma_1}{m}t} + C_2
* 初期条件：x(0)=0x(0) = 0, y(0)=hy(0) = h
* 解：
* x(t)=mv0γ1(1−e−γ1mt)x(t) = \frac{mv_0}{\gamma_1}(1 - e^{-\frac{\gamma_1}{m}t})
* y(t)=h−mgγ1t+m2gγ12(1−e−γ1mt)y(t) = h - \frac{mg}{\gamma_1}t + \frac{m^2g}{\gamma_1^2}(1-e^{-\frac{\gamma_1}{m}t})
(5) 慣性抵抗がある場合の速度
* 運動方程式：
* mdvxdt=−γ2dxdt=−γ2vxm\frac{dv_x}{dt} = -\gamma_2 \frac{dx}{dt} = -\gamma_2 v_x
* mdvydt=−mg−γ2dydt=−mg−γ2vym\frac{dv_y}{dt} = -mg - \gamma_2 \frac{dy}{dt} = -mg -\gamma_2 v_y
* 初期条件：vx(0)=v0v_x(0) = v_0, vy(0)=0v_y(0) = 0
* 解：
* vx(t)=v0e−γ2mtv_x(t) = v_0 e^{-\frac{\gamma_2}{m}t}
* vy(t)=−mgγ2(1−e−γ2mt)v_y(t) = -\frac{mg}{\gamma_2}(1-e^{-\frac{\gamma_2}{m}t})

3. 最終的な答え

(1) 抵抗力がない場合
* vx(t)=v0v_x(t) = v_0
* vy(t)=−gtv_y(t) = -gt
(2) 抵抗力がない場合の位置
* x(t)=v0tx(t) = v_0 t
* y(t)=h−12gt2y(t) = h - \frac{1}{2}gt^2
(3) 粘性抵抗がある場合の速度
* vx(t)=v0e−γ1mtv_x(t) = v_0 e^{-\frac{\gamma_1}{m}t}
* vy(t)=−mgγ1(1−e−γ1mt)v_y(t) = -\frac{mg}{\gamma_1}(1 - e^{-\frac{\gamma_1}{m}t})
(4) 粘性抵抗がある場合の位置
* x(t)=mv0γ1(1−e−γ1mt)x(t) = \frac{mv_0}{\gamma_1}(1 - e^{-\frac{\gamma_1}{m}t})
* y(t)=h−mgγ1t+m2gγ12(1−e−γ1mt)y(t) = h - \frac{mg}{\gamma_1}t + \frac{m^2g}{\gamma_1^2}(1-e^{-\frac{\gamma_1}{m}t})
(5) 慣性抵抗がある場合の速度
* vx(t)=v0e−γ2mtv_x(t) = v_0 e^{-\frac{\gamma_2}{m}t}
* vy(t)=−mgγ2(1−e−γ2mt)v_y(t) = -\frac{mg}{\gamma_2}(1-e^{-\frac{\gamma_2}{m}t})

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