弁当屋の売上に関する問題です。 弁当の定価は500円、原価は150円です。 19時以降、売れ残り状況によって「20%引き」(400円) または「半額」(250円) で販売します。 過去のデータから、1時間あたり「定価」で20個、「20%引き」で30個、「半額」で50個売れることが分かっています。 売れ残った弁当は1個あたり150円の損失となります。 (1) 19時から21時まで全て定価で販売した場合について、売れ残りが30個のときと50個のときの総利益を求めます。 (2) 19時から21時まで全て20%引きで販売した場合に、総利益が14000円以上となる売れ残り個数 $x$ の範囲を求めます。 (3) 売れ残り個数 $x$ が71以上100以下のとき、以下の2つの販売方法[A], [B]を比較します。 [A] 19-20時: 定価, 20-21時: 半額 [B] 19-20時: 20%引き, 20-21時: 半額 [B]の方法で売った場合の総利益が[A]の方法で売った場合の総利益より多くなるような $x$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

弁当屋の売上に関する問題です。

弁当の定価は500円、原価は150円です。

19時以降、売れ残り状況によって「20%引き」(400円) または「半額」(250円) で販売します。

過去のデータから、1時間あたり「定価」で20個、「20%引き」で30個、「半額」で50個売れることが分かっています。

売れ残った弁当は1個あたり150円の損失となります。

(1) 19時から21時まで全て定価で販売した場合について、売れ残りが30個のときと50個のときの総利益を求めます。

(2) 19時から21時まで全て20%引きで販売した場合に、総利益が14000円以上となる売れ残り個数 $x$ の範囲を求めます。

(3) 売れ残り個数 $x$ が71以上100以下のとき、以下の2つの販売方法[A], [B]を比較します。

[A] 19-20時: 定価, 20-21時: 半額

[B] 19-20時: 20%引き, 20-21時: 半額

[B]の方法で売った場合の総利益が[A]の方法で売った場合の総利益より多くなるような $x$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

19時から21時まで「定価」で販売する場合、2時間で $20 \times 2 = 40$ 個売れます。

利益は、販売価格から原価を引いたものです。定価500円、原価150円なので、1個あたり $500 - 150 = 350$ 円です。

売れ残り $x$ 個の損失は $150x$ 円です。

総利益 = (売れた個数) $\times$ (1個あたりの利益) - (売れ残り個数) $\times$ (1個あたりの損失)

売れ残り $x=30$ のとき：

総利益 = $40 \times 350 - 30 \times 150 = 14000 - 4500 = 9500$ 円

売れ残り $x=50$ のとき：

総利益 = $40 \times 350 - 50 \times 150 = 14000 - 7500 = 6500$ 円

(2)

19時から21時まで「20%引き」で販売する場合、2時間で $30 \times 2 = 60$ 個売れます。

利益は、販売価格から原価を引いたものです。20%引きの価格400円、原価150円なので、1個あたり $400 - 150 = 250$ 円です。

売れ残り $x$ 個の損失は $150x$ 円です。

総利益 = (売れた個数) $\times$ (1個あたりの利益) - (売れ残り個数) $\times$ (1個あたりの損失)

総利益 = $60 \times 250 - x \times 150 = 15000 - 150x$

$15000 - 150x \ge 14000$ となる $x$ の範囲を求めます。

$1000 \ge 150x$

$x \le \frac{1000}{150} = \frac{20}{3} \approx 6.67$

$x$ は自然数なので、$1 \le x \le 6$

(3)

[A] 19-20時: 定価, 20-21時: 半額

19-20時に定価で20個売れる。

20-21時に半額で50個売れる。

合計で70個売れる。

売れ残り $x$ 個。よって、弁当の数は $70+x$ 個

19-20時の利益は $20 \times (500-150) = 20 \times 350 = 7000$

20-21時の利益は $50 \times (250-150) = 50 \times 100 = 5000$

売れ残り $x$ 個の損失は $150x$ 円。

総利益[A] = $7000 + 5000 - 150x = 12000 - 150x$

[B] 19-20時: 20%引き, 20-21時: 半額

19-20時に20%引きで30個売れる。

20-21時に半額で50個売れる。

合計で80個売れる。

売れ残り $x$ 個。よって、弁当の数は $80+x$ 個

19-20時の利益は $30 \times (400-150) = 30 \times 250 = 7500$

20-21時の利益は $50 \times (250-150) = 50 \times 100 = 5000$

売れ残り $x$ 個の損失は $150x$ 円。

総利益[B] = $7500 + 5000 - 150x = 12500 - 150x$

総利益[B] > 総利益[A] となる $x$ の範囲を求める。

$12500 - 150x > 12000 - 150x$

$500 > 0$

これは常に成り立つので、$71 \le x \le 100$ の範囲全てです。ただし、[A]も[B]も売れる数が70と80で固定なので、弁当の数が足りない場合がある。

$70+x \le 100$, $80+x \le 100$より、$x \le 30$と、$x \le 20$

これを満たす範囲は存在しない。

19-20時と20-21時に売れる個数が、実際にある弁当の数より少ない場合を考える。

[A] 19-20時に $x+70$ 個の弁当がある。20個売れるので、$x+70-20=x+50$ 個残る。20-21時には50個売れるので、$x+50$が50以上なら、$x \ge 0$。$x < 0$ なら全部売れる。$x$は自然数。

[B] 19-20時に $x+80$ 個の弁当がある。30個売れるので、$x+80-30=x+50$ 個残る。20-21時には50個売れるので、$x+50$が50以上なら、$x \ge 0$。$x < 0$ なら全部売れる。$x$は自然数。

売れる個数が固定されているのがおかしい。

$71 \le x \le 100$ のとき、19-20時に $x$ 個売れ残っているとする。

[A] 19-20時に定価で売れるだけ売る。最大20個。

20-21時に半額で売れるだけ売る。最大50個。

[B] 19-20時に20%引きで売れるだけ売る。最大30個。

20-21時に半額で売れるだけ売る。最大50個。

[A]の総利益は、$x+20+50=x+70$ 個用意したときに、売れるだけ売った場合の利益。

まず、19時から20時に20個売れる。利益は$20 \times 350 = 7000$

次に、20時から21時に50個売れる。利益は$50 \times 100 = 5000$

売れ残った個数は、$x - (70 - (x+70)) = x -0 = x$

総利益 = $7000 + 5000 - 150x=12000-150x$

[B]の総利益は、$x+30+50=x+80$ 個用意したときに、売れるだけ売った場合の利益。

まず、19時から20時に30個売れる。利益は$30 \times 250 = 7500$

次に、20時から21時に50個売れる。利益は$50 \times 100 = 5000$

売れ残った個数は、$x+80 - (30+50)$

(1)

x=30のとき: 9500円

x=50のとき: 6500円

(2)

1 <= x <= 6

(3)

71 <= x <= 100