内径20cmの円管内を流れる水と、別の円管内を流れる空気のレイノルズ数を同じにするためには、空気の円管の内径をいくらにすればよいか求める問題です。水の流速、空気の流速、水と空気の密度、粘性係数が与えられています。

1. 問題の内容

内径20cmの円管内を流れる水と、別の円管内を流れる空気のレイノルズ数を同じにするためには、空気の円管の内径をいくらにすればよいか求める問題です。水の流速、空気の流速、水と空気の密度、粘性係数が与えられています。

2. 解き方の手順

レイノルズ数の公式は $Re = \frac{\rho v D}{\mu}$ です。ここで、

$\rho$ は密度、

$v$ は流速、

$D$ は管の内径、

$\mu$ は粘性係数です。

水に関する値を添字w、空気に関する値を添字aで表します。問題文より、

$D_w = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$,

$v_w = 5 \text{ m/s}$,

$\rho_w = 1000 \text{ kg/m}^3$,

$\mu_w = 1.002 \times 10^{-3} \text{ Pa} \cdot \text{s}$,

$v_a = 8 \text{ m/s}$,

$\rho_a = 1.205 \text{ kg/m}^3$,

$\mu_a = 1.80 \times 10^{-5} \text{ Pa} \cdot \text{s}$

です。

水と空気のレイノルズ数が等しいので $Re_w = Re_a$ が成り立ちます。したがって、

$\frac{\rho_w v_w D_w}{\mu_w} = \frac{\rho_a v_a D_a}{\mu_a}$

これを $D_a$ について解くと、

$D_a = \frac{\rho_w v_w D_w \mu_a}{\rho_a v_a \mu_w}$

与えられた値を代入すると、

$D_a = \frac{1000 \text{ kg/m}^3 \times 5 \text{ m/s} \times 0.2 \text{ m} \times 1.80 \times 10^{-5} \text{ Pa} \cdot \text{s}}{1.205 \text{ kg/m}^3 \times 8 \text{ m/s} \times 1.002 \times 10^{-3} \text{ Pa} \cdot \text{s}}$

$D_a = \frac{1000 \times 5 \times 0.2 \times 1.80 \times 10^{-5}}{1.205 \times 8 \times 1.002 \times 10^{-3}}$

$D_a = \frac{0.018}{0.00966328} \approx 1.863 \text{ m}$

したがって、空気の円管の内径は1.863mとなります。

3. 最終的な答え

1.863 m