$n \times n$ の正方行列 $A = \{A_{ij}(t)\}$ と $B = \{B_{ij}(t)\}$ の各要素が時間 $t$ の関数であるとき、以下の2つの式を示す問題です。 (1) $\frac{d}{dt}(AB) = \frac{dA}{dt}B + A\frac{dB}{dt}$ (2) $B = A^{-1}$ のとき、$\frac{dA^{-1}}{dt} = -A^{-1}\frac{dA}{dt}A^{-1}$

1. 問題の内容

$n \times n$ の正方行列 $A = \{A_{ij}(t)\}$ と $B = \{B_{ij}(t)\}$ の各要素が時間 $t$ の関数であるとき、以下の2つの式を示す問題です。

(1) $\frac{d}{dt}(AB) = \frac{dA}{dt}B + A\frac{dB}{dt}$

(2) $B = A^{-1}$ のとき、$\frac{dA^{-1}}{dt} = -A^{-1}\frac{dA}{dt}A^{-1}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{d}{dt}(AB) = \frac{dA}{dt}B + A\frac{dB}{dt}$ の証明

行列 $AB$ の $(i, j)$ 成分は $\sum_{k=1}^n A_{ik}B_{kj}$ です。これの時間微分は、積の微分法則を用いると

$\frac{d}{dt}(AB)_{ij} = \frac{d}{dt} \sum_{k=1}^n A_{ik}B_{kj} = \sum_{k=1}^n \frac{d}{dt} (A_{ik}B_{kj}) = \sum_{k=1}^n (\frac{dA_{ik}}{dt}B_{kj} + A_{ik}\frac{dB_{kj}}{dt})$

ここで、和の順序を入れ替えて、

$\sum_{k=1}^n \frac{dA_{ik}}{dt}B_{kj} + \sum_{k=1}^n A_{ik}\frac{dB_{kj}}{dt} = (\frac{dA}{dt}B)_{ij} + (A\frac{dB}{dt})_{ij}$

したがって、

$\frac{d}{dt}(AB) = \frac{dA}{dt}B + A\frac{dB}{dt}$ が成り立ちます。

(2) $B = A^{-1}$ のとき、$\frac{dA^{-1}}{dt} = -A^{-1}\frac{dA}{dt}A^{-1}$ の証明

$A A^{-1} = I$ (単位行列) であることを利用します。両辺を時間 $t$ で微分すると、

$\frac{d}{dt}(AA^{-1}) = \frac{d}{dt}(I) = 0$

(1) の結果を用いると、

$\frac{dA}{dt}A^{-1} + A\frac{dA^{-1}}{dt} = 0$

$A\frac{dA^{-1}}{dt} = -\frac{dA}{dt}A^{-1}$

両辺に左から $A^{-1}$ を掛けると、

$A^{-1} A \frac{dA^{-1}}{dt} = -A^{-1} \frac{dA}{dt}A^{-1}$

$\frac{dA^{-1}}{dt} = -A^{-1}\frac{dA}{dt}A^{-1}$

が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{d}{dt}(AB) = \frac{dA}{dt}B + A\frac{dB}{dt}$

(2) $\frac{dA^{-1}}{dt} = -A^{-1}\frac{dA}{dt}A^{-1}$