壁に沿って定常的に一方向に流れる粘性流体があり、壁面から0.5mmの位置における粘性応力が5Paである。壁面から1.0mm離れた位置までの流速の速度勾配が一定であるとして、壁面から1.0mmにおける流速を求める。ただし、流体の粘性係数は$2 \times 10^{-3}$Pa・sとする。

1. 問題の内容

壁に沿って定常的に一方向に流れる粘性流体があり、壁面から0.5mmの位置における粘性応力が5Paである。壁面から1.0mm離れた位置までの流速の速度勾配が一定であるとして、壁面から1.0mmにおける流速を求める。ただし、流体の粘性係数は$2 \times 10^{-3}$Pa・sとする。

2. 解き方の手順

粘性応力 $\tau$ は、粘性係数 $\mu$ と速度勾配 $\frac{dv}{dy}$ によって、次のように表される。

$\tau = \mu \frac{dv}{dy}$

問題文より、$\tau = 5$ Pa、$\mu = 2 \times 10^{-3}$ Pa・sであるから、速度勾配 $\frac{dv}{dy}$ は、

$\frac{dv}{dy} = \frac{\tau}{\mu} = \frac{5}{2 \times 10^{-3}} = 2500$ (s$^{-1}$)

速度勾配は一定なので、壁面から距離 $y$ における流速 $v$ は、

$v = \frac{dv}{dy} y$

で与えられる。壁面から1.0 mmの位置における流速 $v$ を求めるので、$y = 1.0 \times 10^{-3}$ mを代入する。

$v = 2500 \times 1.0 \times 10^{-3} = 2.5$ m/s

3. 最終的な答え

壁面から1.0mmにおける流速は2.5 m/sである。