質量 $m$ の質点が $x$ 軸上を力 $F(x) = F_0 (e^{\frac{x_0 - x}{R}} - 1) e^{\frac{x_0 - x}{R}}$ を受けて運動している。ここで、$F_0$, $x_0$, $R$ は正の定数であり、$|x_0 - x| \ll R$ が成り立つ。 (a) $F(x)$ を $x$ の関数としてグラフの概形を図示する。 (b) $F(x)$ を $\frac{x_0 - x}{R}$ の1次で近似する。 (c) $F(x)$ を $\frac{x_0 - x}{R}$ の1次で近似した場合における質点の運動方程式を書き、そのときの質点がどのような運動をするか答える。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点が $x$ 軸上を力 $F(x) = F_0 (e^{\frac{x_0 - x}{R}} - 1) e^{\frac{x_0 - x}{R}}$ を受けて運動している。ここで、$F_0$, $x_0$, $R$ は正の定数であり、$|x_0 - x| \ll R$ が成り立つ。

(a) $F(x)$ を $x$ の関数としてグラフの概形を図示する。

(b) $F(x)$ を $\frac{x_0 - x}{R}$ の1次で近似する。

(c) $F(x)$ を $\frac{x_0 - x}{R}$ の1次で近似した場合における質点の運動方程式を書き、そのときの質点がどのような運動をするか答える。

2. 解き方の手順

(a) グラフの概形

$F(x) = F_0 (e^{\frac{x_0 - x}{R}} - 1) e^{\frac{x_0 - x}{R}}$ を考える。

$x = x_0$ のとき、$F(x_0) = F_0 (e^0 - 1) e^0 = 0$ である。

$x > x_0$ のとき、$\frac{x_0 - x}{R} < 0$ より $e^{\frac{x_0 - x}{R}} < 1$ なので、$F(x) < 0$ である。

$x < x_0$ のとき、$\frac{x_0 - x}{R} > 0$ より $e^{\frac{x_0 - x}{R}} > 1$ なので、$F(x) > 0$ である。

$x$ が十分大きいとき、つまり $x \to \infty$ のとき、$F(x) \to -F_0$ に近づく。

$x$ が十分小さいとき、つまり $x \to -\infty$ のとき、$F(x) \to \infty$ となる。

$F(x)$ は $x=x_0$ で $F(x)=0$ となり、$x > x_0$ で $F(x) < 0$、$x < x_0$ で $F(x) > 0$ となる。

(b) 1次近似

$|x_0 - x| \ll R$ より、$\frac{x_0 - x}{R}$ は小さいとする。

$e^u \approx 1 + u$ を用いると、$e^{\frac{x_0 - x}{R}} \approx 1 + \frac{x_0 - x}{R}$ と近似できる。

したがって、

$F(x) \approx F_0 (1 + \frac{x_0 - x}{R} - 1) (1 + \frac{x_0 - x}{R}) = F_0 \frac{x_0 - x}{R} (1 + \frac{x_0 - x}{R})$

$\frac{x_0 - x}{R}$ が小さいので、$(\frac{x_0 - x}{R})^2$ の項を無視すると、

$F(x) \approx F_0 \frac{x_0 - x}{R}$ となる。

(c) 運動方程式

$F(x) \approx F_0 \frac{x_0 - x}{R}$ を用いると、運動方程式は

$m \frac{d^2 x}{dt^2} = F_0 \frac{x_0 - x}{R}$

$m \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{F_0}{R} x = \frac{F_0}{R} x_0$

$\frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{F_0}{mR} x = \frac{F_0}{mR} x_0$

$\omega^2 = \frac{F_0}{mR}$ とおくと、

$\frac{d^2 x}{dt^2} + \omega^2 x = \omega^2 x_0$

これは単振動の運動方程式である。平衡点は $x = x_0$ である。したがって、質点は $x_0$ を中心とする単振動をする。

3. 最終的な答え

(a) グラフの概形：

$x = x_0$ で $F(x) = 0$ となり、$x > x_0$ で $F(x) < 0$、$x < x_0$ で $F(x) > 0$ となるようなグラフ。$x \to \infty$ で $F(x) \to -F_0$, $x \to -\infty$ で $F(x) \to \infty$ となる。

(b) 1次近似：

$F(x) \approx F_0 \frac{x_0 - x}{R}$

(c) 運動方程式と運動の種類：

運動方程式： $m \frac{d^2 x}{dt^2} = F_0 \frac{x_0 - x}{R}$

運動の種類：$x_0$ を中心とする単振動