問題3: スカラー関数 $V(x, y, z)$ が与えられたとき、その勾配 $\nabla V$ を求める問題です。 (a) $V(x, y, z) = x^2y^3z$ (b) $V(x, y, z) = x^3y + y^3z + z^4$ (c) $V(x, y, z) = 2x \cos y + 2z^2$ 問題4: ベクトル関数 $\vec{A}$ が与えられたとき、その回転 $\nabla \times \vec{A}$ および発散 $\nabla \cdot \vec{A}$ を求める問題です。 (a) $\vec{A} = (x^2y^2, xyz, 3xz^2)$ (b) $\vec{A} = (x \sin y, \cos y, 2z^2)$

1. 問題の内容

問題3: スカラー関数 $V(x, y, z)$ が与えられたとき、その勾配 $\nabla V$ を求める問題です。

(a) $V(x, y, z) = x^2y^3z$

(b) $V(x, y, z) = x^3y + y^3z + z^4$

(c) $V(x, y, z) = 2x \cos y + 2z^2$

問題4: ベクトル関数 $\vec{A}$ が与えられたとき、その回転 $\nabla \times \vec{A}$ および発散 $\nabla \cdot \vec{A}$ を求める問題です。

(a) $\vec{A} = (x^2y^2, xyz, 3xz^2)$

(b) $\vec{A} = (x \sin y, \cos y, 2z^2)$

2. 解き方の手順

問題3: 勾配の計算

勾配は、各変数による偏微分のベクトルです。すなわち、

$\nabla V = (\frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y}, \frac{\partial V}{\partial z})$

(a) $V(x, y, z) = x^2y^3z$

$\frac{\partial V}{\partial x} = 2xy^3z$

$\frac{\partial V}{\partial y} = 3x^2y^2z$

$\frac{\partial V}{\partial z} = x^2y^3$

したがって、$\nabla V = (2xy^3z, 3x^2y^2z, x^2y^3)$

(b) $V(x, y, z) = x^3y + y^3z + z^4$

$\frac{\partial V}{\partial x} = 3x^2y$

$\frac{\partial V}{\partial y} = x^3 + 3y^2z$

$\frac{\partial V}{\partial z} = y^3 + 4z^3$

したがって、$\nabla V = (3x^2y, x^3 + 3y^2z, y^3 + 4z^3)$

(c) $V(x, y, z) = 2x \cos y + 2z^2$

$\frac{\partial V}{\partial x} = 2 \cos y$

$\frac{\partial V}{\partial y} = -2x \sin y$

$\frac{\partial V}{\partial z} = 4z$

したがって、$\nabla V = (2 \cos y, -2x \sin y, 4z)$

問題4: 回転と発散の計算

回転は、

$\nabla \times \vec{A} = (\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}, \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}, \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y})$

発散は、

$\nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}$

(a) $\vec{A} = (x^2y^2, xyz, 3xz^2)$

$\frac{\partial A_z}{\partial y} = 0$

$\frac{\partial A_y}{\partial z} = xy$

$\frac{\partial A_x}{\partial z} = 0$

$\frac{\partial A_z}{\partial x} = 3z^2$

$\frac{\partial A_y}{\partial x} = yz$

$\frac{\partial A_x}{\partial y} = 2x^2y$

したがって、$\nabla \times \vec{A} = (-xy, -3z^2, yz - 2x^2y)$

$\frac{\partial A_x}{\partial x} = 2xy^2$

$\frac{\partial A_y}{\partial y} = xz$

$\frac{\partial A_z}{\partial z} = 6xz$

したがって、$\nabla \cdot \vec{A} = 2xy^2 + xz + 6xz = 2xy^2 + 7xz$

(b) $\vec{A} = (x \sin y, \cos y, 2z^2)$

$\frac{\partial A_z}{\partial y} = 0$

$\frac{\partial A_y}{\partial z} = 0$

$\frac{\partial A_x}{\partial z} = 0$

$\frac{\partial A_z}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial A_y}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial A_x}{\partial y} = x \cos y$

したがって、$\nabla \times \vec{A} = (0, 0, -x \cos y)$

$\frac{\partial A_x}{\partial x} = \sin y$

$\frac{\partial A_y}{\partial y} = -\sin y$

$\frac{\partial A_z}{\partial z} = 4z$

したがって、$\nabla \cdot \vec{A} = \sin y - \sin y + 4z = 4z$

3. 最終的な答え

問題3:

(a) $\nabla V = (2xy^3z, 3x^2y^2z, x^2y^3)$

(b) $\nabla V = (3x^2y, x^3 + 3y^2z, y^3 + 4z^3)$

(c) $\nabla V = (2 \cos y, -2x \sin y, 4z)$

問題4:

(a) $\nabla \times \vec{A} = (-xy, -3z^2, yz - 2x^2y)$, $\nabla \cdot \vec{A} = 2xy^2 + 7xz$

(b) $\nabla \times \vec{A} = (0, 0, -x \cos y)$, $\nabla \cdot \vec{A} = 4z$