$x \gg \Delta x$ の条件の下で、$\sqrt[3]{\frac{x}{x - \Delta x}}$ の近似式を求める問題です。 $(\Delta x)^2$ 以下の項は無視できるとします。

1. 問題の内容

$x \gg \Delta x$ の条件の下で、$\sqrt[3]{\frac{x}{x - \Delta x}}$ の近似式を求める問題です。 $(\Delta x)^2$ 以下の項は無視できるとします。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$\sqrt[3]{\frac{x}{x - \Delta x}} = \left(\frac{x}{x - \Delta x}\right)^{\frac{1}{3}}$

次に、$x$で割って、

$\left(\frac{x}{x - \Delta x}\right)^{\frac{1}{3}} = \left(\frac{1}{1 - \frac{\Delta x}{x}}\right)^{\frac{1}{3}} = \left(1 - \frac{\Delta x}{x}\right)^{-\frac{1}{3}}$

ここで、$x \gg \Delta x$ より $\frac{\Delta x}{x} \ll 1$ であるため、二項定理 $(1+y)^n \approx 1+ny$ (for $|y| \ll 1$) を適用します。

$y = -\frac{\Delta x}{x}$ と $n = -\frac{1}{3}$ を代入すると、

$\left(1 - \frac{\Delta x}{x}\right)^{-\frac{1}{3}} \approx 1 + \left(-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{\Delta x}{x}\right) = 1 + \frac{1}{3} \frac{\Delta x}{x}$

3. 最終的な答え

したがって、近似式は

$1 + \frac{\Delta x}{3x}$