与えられた表から英語の点数の平均値、数学の点数の分散、数学と英語の点数の相関係数を計算する。また、整式 $P(x)$ を $x^2-2x-3$ で割った余りが $2x-1$ であるとき、${P(x)}^3-P(x)$ を $x^2-2x-3$ で割った余りを求める。さらに、関数 $f(x) = \int_0^x (-t^3 + t^2 + 2t) dt$ が最大値をとる $x$ の値と最大値を求める。最後に、$x \ge 1$, $y \ge 1$ について $(\log_3 x - 2)^2 + (\log_3 y)^2 = 5$ が成り立つとき、$xy^2$ の最小値と最大値を求める。

1. 問題の内容

与えられた表から英語の点数の平均値、数学の点数の分散、数学と英語の点数の相関係数を計算する。また、整式 $P(x)$ を $x^2-2x-3$ で割った余りが $2x-1$ であるとき、${P(x)}^3-P(x)$ を $x^2-2x-3$ で割った余りを求める。さらに、関数 $f(x) = \int_0^x (-t^3 + t^2 + 2t) dt$ が最大値をとる $x$ の値と最大値を求める。最後に、$x \ge 1$, $y \ge 1$ について $(\log_3 x - 2)^2 + (\log_3 y)^2 = 5$ が成り立つとき、$xy^2$ の最小値と最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

(a) 英語の点数の平均値は、$(3+3+8+8+8)/5 = 30/5 = 6$。

(b) 数学の点数の平均値は、$(2+3+6+5+9)/5 = 25/5 = 5$。数学の点数の分散は、$\frac{1}{5} \left[ (2-5)^2 + (3-5)^2 + (6-5)^2 + (5-5)^2 + (9-5)^2 \right] = \frac{1}{5} [9+4+1+0+16] = \frac{30}{5} = 6$。

(c) 数学と英語の共分散は、$\frac{1}{5} \left[ (2-5)(3-6) + (3-5)(3-6) + (6-5)(8-6) + (5-5)(8-6) + (9-5)(8-6) \right] = \frac{1}{5} [9+6+2+0+8] = \frac{25}{5} = 5$。英語の点数の標準偏差は、$\sqrt{\frac{1}{5} [ (3-6)^2 + (3-6)^2 + (8-6)^2 + (8-6)^2 + (8-6)^2]} = \sqrt{\frac{1}{5} [9+9+4+4+4]} = \sqrt{\frac{30}{5}} = \sqrt{6}$。数学の点数の標準偏差は $\sqrt{6}$。(b)より。相関係数は、$\frac{5}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{5}{6} = 0.8333...$。小数第3位を四捨五入すると0.83。

(2)

$P(x)$ を $x^2-2x-3$ で割った余りが $2x-1$ なので、$P(x) = (x^2-2x-3)Q(x) + 2x-1$ と表せる。

したがって、$P(x) \equiv 2x-1 \pmod{x^2-2x-3}$。

${P(x)}^3 - P(x) \equiv (2x-1)^3 - (2x-1) \pmod{x^2-2x-3}$.

$(2x-1)^3 - (2x-1) = (8x^3 - 12x^2 + 6x - 1) - (2x-1) = 8x^3 - 12x^2 + 4x$。

$x^2 - 2x - 3 = 0$ より、$x^2 = 2x+3$。

$x^3 = x(x^2) = x(2x+3) = 2x^2 + 3x = 2(2x+3) + 3x = 7x+6$。

$8x^3 - 12x^2 + 4x = 8(7x+6) - 12(2x+3) + 4x = 56x + 48 - 24x - 36 + 4x = 36x + 12$。

よって、余りは $36x+12$。

(3)

$f(x) = \int_0^x (-t^3 + t^2 + 2t) dt = \left[ -\frac{1}{4}t^4 + \frac{1}{3}t^3 + t^2 \right]_0^x = -\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + x^2$。

$f'(x) = -x^3 + x^2 + 2x = -x(x^2 - x - 2) = -x(x-2)(x+1)$。

$f'(x)=0$ となるのは $x=-1, 0, 2$。$x>0$で考える。

$f'(x)$ の符号は、$x<0$ で正、$0<x<2$ で正、$x>2$ で負。

したがって、$x=2$ で最大値をとる。最大値は $f(2) = -\frac{1}{4}(16) + \frac{1}{3}(8) + 4 = -4 + \frac{8}{3} + 4 = \frac{8}{3}$。

(4)

$(\log_3 x - 2)^2 + (\log_3 y)^2 = 5$。

$X = \log_3 x$, $Y = \log_3 y$ とおくと、$(X-2)^2 + Y^2 = 5$。

$Y^2 = 5-(X-2)^2$ より $Y = \pm \sqrt{5-(X-2)^2}$。

$x \ge 1$, $y \ge 1$ より $X \ge 0$, $Y \ge 0$。

$xy^2 = 3^X (3^Y)^2 = 3^{X+2Y}$。

$X+2Y$ の最大値、最小値を求める。

$Y = \sqrt{5-(X-2)^2}$ より、$X = 2 \pm \sqrt{5-Y^2}$。

$X \ge 0$ より $2 - \sqrt{5-Y^2} \ge 0$, $2 \ge \sqrt{5-Y^2}$, $4 \ge 5-Y^2$, $Y^2 \ge 1$, $Y \ge 1$。

$X = 2 - \sqrt{5-Y^2}$ のとき、$X+2Y = 2 - \sqrt{5-Y^2} + 2Y$。

$g(Y) = 2 - \sqrt{5-Y^2} + 2Y$ とおくと、$g'(Y) = \frac{Y}{\sqrt{5-Y^2}} + 2 > 0$。

よって、$Y=1$ のとき最小、$Y=\sqrt{5}$ のとき最大。

$Y=1$ のとき、$X = 2-\sqrt{5-1} = 2-2=0$。$X+2Y = 0+2(1) = 2$。

$Y=\sqrt{5}$ のとき、$X = 2-\sqrt{5-5} = 2$。$X+2Y = 2+2\sqrt{5}$。

$xy^2 = 3^{X+2Y}$ より、最小値は $3^2 = 9$、最大値は $3^{2+2\sqrt{5}}$。

3. 最終的な答え

(1) (a) ア: 6 (b) イ: 6 (c) ウエ: 83

(2) オカ: 36, キク: 12

(3) ケ: 2, コ/サ: 8/3

(4) シ: 9