問題3では、与えられたスカラー関数 $V(x, y, z)$ の勾配を求めます。問題4では、与えられたベクトル関数 $\vec{A}$ の回転（rot）と発散（div）を求めます。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

問題3では、与えられたスカラー関数 $V(x, y, z)$ の勾配を求めます。問題4では、与えられたベクトル関数 $\vec{A}$ の回転（rot）と発散（div）を求めます。

2. 解き方の手順

問題3: 勾配の計算

スカラー関数 $V(x, y, z)$ の勾配は、以下のように計算されます。

$\text{grad } V = \left( \frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y}, \frac{\partial V}{\partial z} \right)$

(a) $V(x, y, z) = x^2 y^3 z$

$\frac{\partial V}{\partial x} = 2xy^3z$

$\frac{\partial V}{\partial y} = 3x^2y^2z$

$\frac{\partial V}{\partial z} = x^2y^3$

$\text{grad } V = (2xy^3z, 3x^2y^2z, x^2y^3)$

(b) $V(x, y, z) = x^3 y + y^3 z + z^4$

$\frac{\partial V}{\partial x} = 3x^2y$

$\frac{\partial V}{\partial y} = x^3 + 3y^2z$

$\frac{\partial V}{\partial z} = y^3 + 4z^3$

$\text{grad } V = (3x^2y, x^3+3y^2z, y^3+4z^3)$

(c) $V(x, y, z) = 2x \cos y + 2z^2$

$\frac{\partial V}{\partial x} = 2 \cos y$

$\frac{\partial V}{\partial y} = -2x \sin y$

$\frac{\partial V}{\partial z} = 4z$

$\text{grad } V = (2\cos y, -2x\sin y, 4z)$

問題4: 回転と発散の計算

ベクトル関数 $\vec{A} = (A_x, A_y, A_z)$ の回転と発散は、以下のように計算されます。

$\text{rot } \vec{A} = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}, \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}, \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right)$

$\text{div } \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}$

(a) $\vec{A} = (x^2y^2, xyz, 3xz^2)$

$\frac{\partial A_z}{\partial y} = 0$

$\frac{\partial A_y}{\partial z} = x y$

$\frac{\partial A_x}{\partial z} = 0$

$\frac{\partial A_z}{\partial x} = 3z^2$

$\frac{\partial A_y}{\partial x} = yz$

$\frac{\partial A_x}{\partial y} = 2x^2y$

$\frac{\partial A_x}{\partial x} = 2xy^2$

$\frac{\partial A_y}{\partial y} = xz$

$\frac{\partial A_z}{\partial z} = 6xz$

$\text{rot } \vec{A} = (-xy, -3z^2, yz-2x^2y)$

$\text{div } \vec{A} = 2xy^2 + xz + 6xz = 2xy^2 + 7xz$

(b) $\vec{A} = (x \sin y, \cos y, 2z^2)$

$\frac{\partial A_z}{\partial y} = 0$

$\frac{\partial A_y}{\partial z} = 0$

$\frac{\partial A_x}{\partial z} = 0$

$\frac{\partial A_z}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial A_y}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial A_x}{\partial y} = x \cos y$

$\frac{\partial A_x}{\partial x} = \sin y$

$\frac{\partial A_y}{\partial y} = -\sin y$

$\frac{\partial A_z}{\partial z} = 4z$

$\text{rot } \vec{A} = (0, 0, -x \cos y)$

$\text{div } \vec{A} = \sin y - \sin y + 4z = 4z$

3. 最終的な答え

問題3:

(a) $\text{grad } V = (2xy^3z, 3x^2y^2z, x^2y^3)$

(b) $\text{grad } V = (3x^2y, x^3+3y^2z, y^3+4z^3)$

(c) $\text{grad } V = (2\cos y, -2x\sin y, 4z)$

問題4:

(a) $\text{rot } \vec{A} = (-xy, -3z^2, yz-2x^2y)$

$\text{div } \vec{A} = 2xy^2 + 7xz$

(b) $\text{rot } \vec{A} = (0, 0, -x \cos y)$

$\text{div } \vec{A} = 4z$