弁当屋での弁当の販売に関する問題です。弁当の定価は500円、原価は150円です。売れ残った場合、1個あたり150円の損失が出ます。19時以降は「20%引き」(400円)または「半額」(250円)で販売されます。過去のデータから、定価で販売すると1時間あたり20個、20%引きで30個、半額で50個売れることがわかっています。 (1) 19時から21時まで定価で販売する場合、19時時点での売れ残り個数 $x$ が30個と50個のときの総利益を求めます。 (2) 19時から21時まで20%引きで販売する場合、総利益が14000円以上となるような $x$ の範囲を求めます。 (3) $71 \le x \le 100$ のとき、販売方法AとBを比較し、Bの利益がAの利益より大きくなるような $x$ の範囲を求めます。 A: 19-20時は定価、20-21時は半額 B: 19-20時は20%引き、20-21時は半額

1. 問題の内容

弁当屋での弁当の販売に関する問題です。弁当の定価は500円、原価は150円です。売れ残った場合、1個あたり150円の損失が出ます。19時以降は「20%引き」(400円)または「半額」(250円)で販売されます。過去のデータから、定価で販売すると1時間あたり20個、20%引きで30個、半額で50個売れることがわかっています。

(1) 19時から21時まで定価で販売する場合、19時時点での売れ残り個数 $x$ が30個と50個のときの総利益を求めます。

(2) 19時から21時まで20%引きで販売する場合、総利益が14000円以上となるような $x$ の範囲を求めます。

(3) $71 \le x \le 100$ のとき、販売方法AとBを比較し、Bの利益がAの利益より大きくなるような $x$ の範囲を求めます。

A: 19-20時は定価、20-21時は半額

B: 19-20時は20%引き、20-21時は半額

2. 解き方の手順

(1)

まず、19時から21時までに売れる弁当の個数を計算します。定価で販売する場合、1時間あたり20個売れるので、2時間で40個売れます。

次に、総利益を計算します。総利益は、売れた弁当の利益の合計から、売れ残った弁当の損失の合計を引いたものです。

$x = 30$ の場合:

売れる個数は40個ですが、売れ残りは30個なので、すべて売れます。

利益は、$(500 - 150) \times 30 = 350 \times 30 = 10500$ 円です。

$x = 50$ の場合:

売れる個数は40個です。

利益は、$(500 - 150) \times 40 = 350 \times 40 = 14000$ 円です。

売れ残りは、$50 - 40 = 10$ 個です。

損失は、$150 \times 10 = 1500$ 円です。

総利益は、$14000 - 1500 = 12500$ 円です。

(2)

20%引きで販売する場合、1時間あたり30個売れるので、2時間で60個売れます。

総利益が14000円以上になるような $x$ の範囲を求めます。

売れた弁当の利益は、$(400 - 150) \times 60 = 250 \times 60 = 15000$ 円です。

$x$ 個売れ残ったときの損失は、$150x$ 円です。

総利益は、$15000 - 150x$ 円です。

$15000 - 150x \ge 14000$

$150x \le 1000$

$x \le \frac{1000}{150} = \frac{20}{3} \approx 6.67$

$x$ は自然数なので、$1 \le x \le 6$ です。

ただし、$x$ が60より大きい場合、60個しか売れないので、総利益は$15000 - 150x$　とはならない。

$x\le 6$のとき、すべて売れるので、$x \le 60$となる。

60よりも大きい場合、すべて売り切れるので、利益は15000。

$x \le 6$のとき、総利益は$15000 - 150x$。

6より大きい場合は60しか売れないので、総利益は常に15000-150(x-60)=24000-150xとなる。

よって、$x \le 6$となります。

(3)

販売方法Aの場合:

19-20時は定価で20個売れます。利益は、$(500 - 150) \times 20 = 350 \times 20 = 7000$ 円です。

20-21時は半額で50個売れます。

売れ残りの個数は、$x - 20$ 個です。

$x - 20 \le 50$ の場合、$x \le 70$ であれば、すべて売れます。

この場合、利益は$(250 - 150) \times (x - 20) = 100(x - 20)$ 円です。

もし$x - 20 > 50$ ($x > 70$) であれば、50個しか売れません。この場合の利益は$(250-150) \times 50 = 5000$円です。

販売方法Bの場合:

19-20時は20%引きで30個売れます。利益は、$(400 - 150) \times 30 = 250 \times 30 = 7500$ 円です。

20-21時は半額で50個売れます。

売れ残りの個数は、$x - 30$ 個です。

$x - 30 \le 50$ の場合、$x \le 80$ であれば、すべて売れます。

この場合、利益は$(250 - 150) \times (x - 30) = 100(x - 30)$ 円です。

もし$x - 30 > 50$ ($x > 80$) であれば、50個しか売れません。この場合の利益は$(250-150) \times 50 = 5000$円です。

$71 \le x \le 100$なので、[A]の場合、$x>70$となり、利益は$7000 + 5000 = 12000$です。

[B]の場合、$x>80$となり、利益は$7500+5000 = 12500$。

$71 \le x \le 80$の時、[A]の利益は$12000 - 150(x-70)$

[B]の利益は$7500+ 100(x-30) = 100x+4500$

[B]の利益の方が[A]の利益より大きくなるのは

$100x + 4500 > 12000$

$100x > 7500$

$x > 75$

$76 \le x \le 80$

$81 \le x \le 100$の時、Aの利益は$12000$、Bの利益は$12500$。よってBの利益の方が大きくなるのは$81 \le x \le 100$

したがって、$76 \le x \le 100$。

3. 最終的な答え

(1) $x = 30$ のとき、総利益は 10500 円です。

$x = 50$ のとき、総利益は 12500 円です。

(2) $1 \le x \le 6$

(3) $76 \le x \le 100$