与えられた2つの力 $F(r)=(y^2, 2xy, 0)$ と $F(r)=(-y, x, 0)$ について、3つの異なる経路に沿って点O(0,0,0)から点B(1,1,0)まで物体を動かすときの、それぞれの力がなす仕事を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた2つの力 $F(r)=(y^2, 2xy, 0)$ と $F(r)=(-y, x, 0)$ について、3つの異なる経路に沿って点O(0,0,0)から点B(1,1,0)まで物体を動かすときの、それぞれの力がなす仕事を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(a) $F(r) = (y^2, 2xy, 0)$ の場合

(i) 経路 $C = C_1 + C_2$:

* 経路 $C_1$: 点O(0,0,0)から点A(1,0,0)への直線

この経路では $y = 0$ なので、 $dy = 0$ です。また、$x$は0から1まで変化します。

$W_1 = \int_{C_1} F \cdot dr = \int_{C_1} (y^2 dx + 2xy dy) = \int_{0}^{1} (0^2 dx + 2x(0) (0)) = 0$

* 経路 $C_2$: 点A(1,0,0)から点B(1,1,0)への直線

この経路では $x = 1$ なので、 $dx = 0$ です。また、$y$は0から1まで変化します。

$W_2 = \int_{C_2} F \cdot dr = \int_{C_2} (y^2 dx + 2xy dy) = \int_{0}^{1} (y^2 (0) + 2(1)y dy) = \int_{0}^{1} 2y dy = [y^2]_0^1 = 1$

したがって、経路 $C$ 全体での仕事は $W = W_1 + W_2 = 0 + 1 = 1$

(ii) 経路 $C'$: 点O(0,0,0)から点B(1,1,0)への直線

この経路は $y = x$ で表されます。したがって、$dy = dx$ です。 $x$ は 0から1まで変化します。

$W = \int_{C'} F \cdot dr = \int_{C'} (y^2 dx + 2xy dy) = \int_{0}^{1} (x^2 dx + 2x(x) dx) = \int_{0}^{1} 3x^2 dx = [x^3]_0^1 = 1$

(iii) 経路 $C''$: 点O(0,0,0)から点B(1,1,0)への曲線 $y = x^2$

この経路では $y = x^2$ なので、$dy = 2x dx$ です。 $x$ は 0から1まで変化します。

$W = \int_{C''} F \cdot dr = \int_{C''} (y^2 dx + 2xy dy) = \int_{0}^{1} ((x^2)^2 dx + 2x(x^2) (2x dx)) = \int_{0}^{1} (x^4 dx + 4x^4 dx) = \int_{0}^{1} 5x^4 dx = [x^5]_0^1 = 1$

(b) $F(r) = (-y, x, 0)$ の場合

(i) 経路 $C = C_1 + C_2$:

* 経路 $C_1$: 点O(0,0,0)から点A(1,0,0)への直線

この経路では $y = 0$ なので、 $dy = 0$ です。また、$x$は0から1まで変化します。

$W_1 = \int_{C_1} F \cdot dr = \int_{C_1} (-y dx + x dy) = \int_{0}^{1} (-0 dx + x (0)) = 0$

* 経路 $C_2$: 点A(1,0,0)から点B(1,1,0)への直線

この経路では $x = 1$ なので、 $dx = 0$ です。また、$y$は0から1まで変化します。

$W_2 = \int_{C_2} F \cdot dr = \int_{C_2} (-y dx + x dy) = \int_{0}^{1} (-y (0) + (1) dy) = \int_{0}^{1} dy = [y]_0^1 = 1$

したがって、経路 $C$ 全体での仕事は $W = W_1 + W_2 = 0 + 1 = 1$

(ii) 経路 $C'$: 点O(0,0,0)から点B(1,1,0)への直線

この経路は $y = x$ で表されます。したがって、$dy = dx$ です。 $x$ は 0から1まで変化します。

$W = \int_{C'} F \cdot dr = \int_{C'} (-y dx + x dy) = \int_{0}^{1} (-x dx + x dx) = 0$

(iii) 経路 $C''$: 点O(0,0,0)から点B(1,1,0)への曲線 $y = x^2$

この経路では $y = x^2$ なので、$dy = 2x dx$ です。 $x$ は 0から1まで変化します。

$W = \int_{C''} F \cdot dr = \int_{C''} (-y dx + x dy) = \int_{0}^{1} (-x^2 dx + x (2x dx)) = \int_{0}^{1} (-x^2 dx + 2x^2 dx) = \int_{0}^{1} x^2 dx = [\frac{1}{3}x^3]_0^1 = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(a) $F(r) = (y^2, 2xy, 0)$ の場合:

* 経路 $C$: 1

* 経路 $C'$: 1

* 経路 $C''$: 1

(b) $F(r) = (-y, x, 0)$ の場合:

* 経路 $C$: 1

* 経路 $C'$: 0

* 経路 $C''$: 1/3