地上400kmの地球周回軌道にいる国際宇宙ステーション（ISS）の速さ $v$ と周期 $T_p$ を求める問題です。ただし、地球の質量 $M_e = 5.98 \times 10^{24} kg$, 地球の半径 $R_e = 6.37 \times 10^6 m$, 万有引力定数 $G = 6.67 \times 10^{-11} Nm^2/kg^2$ とします。

1. 問題の内容

地上400kmの地球周回軌道にいる国際宇宙ステーション（ISS）の速さ $v$ と周期 $T_p$ を求める問題です。ただし、地球の質量 $M_e = 5.98 \times 10^{24} kg$, 地球の半径 $R_e = 6.37 \times 10^6 m$, 万有引力定数 $G = 6.67 \times 10^{-11} Nm^2/kg^2$ とします。

2. 解き方の手順

国際宇宙ステーションの速さ $v$ は、以下の式で表されます。

$v = \sqrt{\frac{GM_e}{R_e + h}}$

ここで、$G$は万有引力定数、$M_e$は地球の質量、$R_e$は地球の半径、$h$は高度です。

それぞれの値を代入して計算します。$h$はkm単位なのでm単位に変換する必要があります。

国際宇宙ステーションの周期 $T_p$ は、以下の式で表されます。

$T_p = 2\pi \sqrt{\frac{(R_e + h)^3}{GM_e}}$

それぞれの値を代入して計算します。$h$はkm単位なのでm単位に変換する必要があります。

3. 最終的な答え

まず、速さ $v$ を計算します。

$R_e + h = 6.37 \times 10^6 m + 400 \times 10^3 m = 6.77 \times 10^6 m$

$v = \sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} Nm^2/kg^2 \times 5.98 \times 10^{24} kg}{6.77 \times 10^6 m}} = \sqrt{\frac{3.98866 \times 10^{14}}{6.77 \times 10^6}} m/s = \sqrt{5.891669 \times 10^7} m/s \approx 7675.72 m/s = 7.68 \times 10^3 m/s$

次に、周期 $T_p$ を計算します。

$(R_e + h)^3 = (6.77 \times 10^6 m)^3 = 3.098733 \times 10^{20} m^3$

$T_p = 2\pi \sqrt{\frac{3.098733 \times 10^{20} m^3}{6.67 \times 10^{-11} Nm^2/kg^2 \times 5.98 \times 10^{24} kg}} = 2\pi \sqrt{\frac{3.098733 \times 10^{20} m^3}{3.98866 \times 10^{14} Nm^2/kg}} = 2\pi \sqrt{7.76937 \times 10^5} s = 2\pi \times 881.44 s \approx 5537.5 s = 5.54 \times 10^3 s \approx 92 min$

速さ $v = 7.68 \times 10^3 m/s$

周期 $T_p = 5.54 \times 10^3 s = 92 min$