長さ $L = 1.0 \mathrm{m}$ のひもの端に質量 $m = 1.0 \mathrm{kg}$ の物体が吊るされている。ひもが鉛直線に対して角度 $\theta = 30^\circ$ を保つように、物体が水平な円軌道上を等速円運動している。このとき、物体の速さ $v$ と回転周期 $T$ を求める。

1. 問題の内容

長さ $L = 1.0 \mathrm{m}$ のひもの端に質量 $m = 1.0 \mathrm{kg}$ の物体が吊るされている。ひもが鉛直線に対して角度 $\theta = 30^\circ$ を保つように、物体が水平な円軌道上を等速円運動している。このとき、物体の速さ $v$ と回転周期 $T$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 物体の速さ $v$ を求める。

物体には重力 $mg$ と糸の張力 $S$ が働いている。糸の張力 $S$ を鉛直方向と水平方向に分解すると、鉛直方向の力のつり合いから、

$S \cos \theta = mg$

水平方向には、等速円運動の向心力として

$S \sin \theta = m \frac{v^2}{r}$

ここで、円運動の半径 $r$ は、 $r = L \sin \theta$ で与えられる。

したがって、

$S = \frac{mg}{\cos \theta}$

これを向心力の式に代入すると、

$\frac{mg}{\cos \theta} \sin \theta = m \frac{v^2}{L \sin \theta}$

$g \tan \theta = \frac{v^2}{L \sin \theta}$

$v^2 = g L \sin \theta \tan \theta$

$v = \sqrt{g L \sin \theta \tan \theta}$

与えられた値を代入すると、

$v = \sqrt{9.8 \times 1.0 \times \sin 30^\circ \times \tan 30^\circ} = \sqrt{9.8 \times 1.0 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{9.8}{2\sqrt{3}}} \approx 1.68 \mathrm{m/s}$

(2) 回転周期 $T$ を求める。

$v = \frac{2 \pi r}{T}$

$T = \frac{2 \pi r}{v} = \frac{2 \pi L \sin \theta}{v} = \frac{2 \pi L \sin \theta}{\sqrt{g L \sin \theta \tan \theta}} = 2 \pi \sqrt{\frac{L \sin \theta}{g \tan \theta}} = 2 \pi \sqrt{\frac{L \cos \theta}{g}}$

$T = 2 \pi \sqrt{\frac{1.0 \times \cos 30^\circ}{9.8}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\sqrt{3}/2}{9.8}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{19.6}} \approx 1.81 \mathrm{s}$

3. 最終的な答え

(1) 物体の速さ $v \approx 1.68 \mathrm{m/s}$

(2) 回転周期 $T \approx 1.81 \mathrm{s}$