水平面と角 $\beta$ をなす平面OA上に、原点Oから仰角 $\alpha$ 、初速度 $v$ で小球を投げ出したときの運動について、以下の問いに答えます。 (1) 最高点の高さを求めます。 (2) 軌跡を $y=f(x)$ の形で表します。 (3) 線分OAの長さを求めます。

1. 問題の内容

水平面と角 $\beta$ をなす平面OA上に、原点Oから仰角 $\alpha$ 、初速度 $v$ で小球を投げ出したときの運動について、以下の問いに答えます。

(1) 最高点の高さを求めます。

(2) 軌跡を $y=f(x)$ の形で表します。

(3) 線分OAの長さを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 最高点の高さ

小球の初速度の鉛直方向成分は $v \sin\alpha$ です。最高点では鉛直方向の速度が0になるので、等加速度運動の公式 $v_y^2 - v_{0y}^2 = 2ay$ を用います。ここで、$v_y = 0$, $v_{0y} = v\sin\alpha$, $a = -g$ とすると、

$0 - (v \sin\alpha)^2 = 2(-g)y$

よって、最高点の高さ $y$ は

$y = \frac{v^2 \sin^2\alpha}{2g}$

(2) 軌跡 $y=f(x)$

小球の運動をx, y方向に分けて考えます。

水平方向の速度は $v_x = v \cos\alpha$ であり、等速運動をします。

鉛直方向の速度は $v_y = v \sin\alpha - gt$ であり、等加速度運動をします。

時刻 $t$ における小球の位置は、

$x = v \cos\alpha \cdot t$

$y = v \sin\alpha \cdot t - \frac{1}{2} g t^2$

$t$ を消去するために、 $t = \frac{x}{v \cos\alpha}$ を $y$ の式に代入します。

$y = v \sin\alpha \cdot \frac{x}{v \cos\alpha} - \frac{1}{2} g \left(\frac{x}{v \cos\alpha}\right)^2$

$y = x \tan\alpha - \frac{g}{2 v^2 \cos^2\alpha} x^2$

(3) 線分OAの長さ

平面OAの傾きは $\beta$ なので、平面OAを表す直線は $y = x \tan\beta$ です。

小球が平面OAに衝突する点の座標 $(x, y)$ は、放物線の式と直線の方程式を満たします。

$y = x \tan\alpha - \frac{g}{2 v^2 \cos^2\alpha} x^2$

$y = x \tan\beta$

これらを連立して $x$ を求めます。

$x \tan\beta = x \tan\alpha - \frac{g}{2 v^2 \cos^2\alpha} x^2$

$0 = x (\tan\alpha - \tan\beta) - \frac{g}{2 v^2 \cos^2\alpha} x^2$

$0 = x \left( \tan\alpha - \tan\beta - \frac{g}{2 v^2 \cos^2\alpha} x \right)$

$x=0$ は原点Oを表すので、もう一つの解は

$\tan\alpha - \tan\beta = \frac{g}{2 v^2 \cos^2\alpha} x$

$x = \frac{2 v^2 \cos^2\alpha}{g} (\tan\alpha - \tan\beta)$

線分OAの長さは $L = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + x^2 \tan^2\beta} = x \sqrt{1+\tan^2\beta} = \frac{x}{\cos\beta}$ なので

$L = \frac{2 v^2 \cos^2\alpha}{g \cos\beta} (\tan\alpha - \tan\beta)$

$L = \frac{2 v^2 \cos^2\alpha}{g \cos\beta} \left( \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta} \right)$

$L = \frac{2 v^2 \cos\alpha}{g \cos\beta} (\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta)$

$L = \frac{2 v^2 \cos\alpha}{g \cos\beta} \sin(\alpha - \beta)$

3. 最終的な答え

(1) 最高点の高さ: $\frac{v^2 \sin^2\alpha}{2g}$

(2) 軌跡 $y=f(x)$: $y = x \tan\alpha - \frac{g}{2 v^2 \cos^2\alpha} x^2$

(3) 線分OAの長さ: $\frac{2 v^2 \cos\alpha \sin(\alpha - \beta)}{g \cos\beta}$