質量 $m$ の質点が、$x$軸上を力 $F(x) = F_0 (e^{\frac{x_0 - x}{R}} - 1) e^{\frac{x_0 - x}{R}}$ を受けて運動している。ここで、$F_0$, $x_0$, $R$ は正の定数であり、$|x_0 - x| \ll R$ とする。以下の問いに答える。 (a) $F(x)$ を $x$ の関数としてグラフの概形を図示する。 (b) $F(x)$ を $\frac{x_0 - x}{R}$ の1次で近似する。 (c) $F(x)$ を $\frac{x_0 - x}{R}$ の1次で近似した場合における質点の運動方程式を書き、このとき質点はどのような運動をするか答える(運動方程式を解かなくてもよい)。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点が、$x$軸上を力 $F(x) = F_0 (e^{\frac{x_0 - x}{R}} - 1) e^{\frac{x_0 - x}{R}}$ を受けて運動している。ここで、$F_0$, $x_0$, $R$ は正の定数であり、$|x_0 - x| \ll R$ とする。以下の問いに答える。

(a) $F(x)$ を $x$ の関数としてグラフの概形を図示する。

(b) $F(x)$ を $\frac{x_0 - x}{R}$ の1次で近似する。

(c) $F(x)$ を $\frac{x_0 - x}{R}$ の1次で近似した場合における質点の運動方程式を書き、このとき質点はどのような運動をするか答える(運動方程式を解かなくてもよい)。

2. 解き方の手順

(a) $F(x)$ のグラフの概形について。

まず、$x \to -\infty$ のとき、$F(x) \to \infty$ である。

次に、$x \to \infty$ のとき、$F(x) \to -F_0$ である。

$F(x) = 0$ となるのは、$e^{\frac{x_0 - x}{R}} - 1 = 0$ のときなので、$\frac{x_0 - x}{R} = 0$ より、$x = x_0$ である。

$x=x_0$ の前後で$F(x)$の符号が変わるので、$x=x_0$は$F(x)$のゼロ点となる。

$F(x)$ の微分を計算して極値を調べる。

$F'(x) = F_0 \left( -\frac{1}{R} e^{\frac{x_0 - x}{R}} \right) e^{\frac{x_0 - x}{R}} + F_0 \left( e^{\frac{x_0 - x}{R}} - 1 \right) \left( -\frac{1}{R} e^{\frac{x_0 - x}{R}} \right) = -\frac{F_0}{R} e^{\frac{x_0 - x}{R}} \left( e^{\frac{x_0 - x}{R}} + e^{\frac{x_0 - x}{R}} - 1 \right) = -\frac{F_0}{R} e^{\frac{x_0 - x}{R}} \left( 2 e^{\frac{x_0 - x}{R}} - 1 \right)$

$F'(x) = 0$ となるのは、$2 e^{\frac{x_0 - x}{R}} - 1 = 0$ のときなので、$e^{\frac{x_0 - x}{R}} = \frac{1}{2}$ より、$\frac{x_0 - x}{R} = \ln \frac{1}{2} = -\ln 2$ である。

よって、$x = x_0 + R \ln 2$ である。

このとき、$F(x) = F_0 \left( \frac{1}{2} - 1 \right) \frac{1}{2} = -\frac{F_0}{4}$ である。

$x = x_0 + R \ln 2$ において、極小値 $-\frac{F_0}{4}$ をとる。

(b) $e^u \approx 1 + u$ を用いると、

$F(x) = F_0 (e^{\frac{x_0 - x}{R}} - 1) e^{\frac{x_0 - x}{R}} \approx F_0 \left( 1 + \frac{x_0 - x}{R} - 1 \right) \left( 1 + \frac{x_0 - x}{R} \right) = F_0 \left( \frac{x_0 - x}{R} \right) \left( 1 + \frac{x_0 - x}{R} \right)$

$\frac{x_0 - x}{R}$ が小さいとして、2次以上の項を無視すると、

$F(x) \approx F_0 \frac{x_0 - x}{R}$

(c) 運動方程式は、

$m \frac{d^2 x}{dt^2} = F_0 \frac{x_0 - x}{R}$

$m \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{F_0}{R} x = \frac{F_0}{R} x_0$

これは、平衡点の周りで単振動する運動を表す。すなわち、$x = x_0$ が平衡点であり、この点の周りで振動する。

3. 最終的な答え

(a) グラフの概形：$x \to -\infty$ で $F(x) \to \infty$、$x \to \infty$ で $F(x) \to -F_0$、$x=x_0$ で $F(x) = 0$、$x = x_0 + R \ln 2$ で極小値 $-\frac{F_0}{4}$ をとる。

(b) $F(x) \approx F_0 \frac{x_0 - x}{R}$

(c) 運動方程式：$m \frac{d^2 x}{dt^2} = F_0 \frac{x_0 - x}{R}$。質点は $x=x_0$ の周りで単振動をする。