高い橋の上から小石Aを自由落下させ、1.0秒後に小石Bを初速度19.6 m/sで投げ下ろした。 (1) 小石Bが小石Aに追いつくのは、Aを落下させて何秒後か。 (2) 小石Bが小石Aに追いついたときの橋からの落下距離は何mか。

1. 問題の内容

高い橋の上から小石Aを自由落下させ、1.0秒後に小石Bを初速度19.6 m/sで投げ下ろした。

(1) 小石Bが小石Aに追いつくのは、Aを落下させて何秒後か。

(2) 小石Bが小石Aに追いついたときの橋からの落下距離は何mか。

2. 解き方の手順

(1) 小石Aが落下し始めてから $t$ 秒後の落下距離を $y_A$、小石Bが落下し始めてから $t-1$ 秒後の落下距離を $y_B$とする。追いつくときには、落下距離が等しいので、$y_A = y_B$となる。

小石Aの落下距離 $y_A$ は、自由落下の式より

$y_A = \frac{1}{2}gt^2$

小石Bの落下距離 $y_B$ は、初速度 $v_0$ の鉛直投げ下ろしの式より

$y_B = v_0(t-1) + \frac{1}{2}g(t-1)^2$

ここで、$g = 9.8 m/s^2$、$v_0 = 19.6 m/s$ である。

$y_A = y_B$ より

$\frac{1}{2}gt^2 = v_0(t-1) + \frac{1}{2}g(t-1)^2$

$\frac{1}{2}gt^2 = v_0t - v_0 + \frac{1}{2}g(t^2 - 2t + 1)$

$\frac{1}{2}gt^2 = v_0t - v_0 + \frac{1}{2}gt^2 - gt + \frac{1}{2}g$

$0 = v_0t - v_0 - gt + \frac{1}{2}g$

$gt - v_0t = \frac{1}{2}g - v_0$

$t(g-v_0) = \frac{1}{2}g - v_0$

$t = \frac{\frac{1}{2}g - v_0}{g-v_0} = \frac{\frac{1}{2}(9.8) - 19.6}{9.8-19.6} = \frac{4.9-19.6}{9.8-19.6} = \frac{-14.7}{-9.8} = 1.5$

したがって、小石Bが小石Aに追いつくのは、Aを落下させて1.5秒後である。

(2) 小石Aが1.5秒で落下した距離を求める。

$y_A = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (1.5)^2 = 4.9 \times 2.25 = 11.025 \approx 11.0 m$

小石Bが0.5秒で落下した距離を求める。

$y_B = v_0t + \frac{1}{2}gt^2 = 19.6 \times 0.5 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (0.5)^2 = 9.8 + 4.9 \times 0.25 = 9.8 + 1.225 = 11.025 \approx 11.0 m$

3. 最終的な答え

(1) 1.5秒後

(2) 11.0 m