密度が一定の完全流体である空気について、地表面を原点とする鉛直上向きの$z$座標を考える。地表面での気圧が1気圧であるとき、ベルヌーイの定理を用いて、1000 m上空の気圧$P$を有効数字3桁で求める。

1. 問題の内容

密度が一定の完全流体である空気について、地表面を原点とする鉛直上向きの$z$座標を考える。地表面での気圧が1気圧であるとき、ベルヌーイの定理を用いて、1000 m上空の気圧$P$を有効数字3桁で求める。

2. 解き方の手順

ベルヌーイの定理は、流線に沿って以下の式が成り立つことを示します。

$P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g z = 一定$

ここで、$P$は圧力、$\rho$は密度、$v$は流速、$g$は重力加速度、$z$は高さです。

この問題では、空気を完全流体と仮定し、密度$\rho$が一定であるとします。

さらに、空気の流れは無視できるほど小さい（$v \approx 0$）と仮定すると、ベルヌーイの定理は以下のようになります。

$P + \rho g z = 一定$

地表面（$z = 0$）での気圧を$P_0$、1000 m上空（$z = 1000$ m）での気圧を$P$とすると、

$P_0 = 1.013 \times 10^5$ Pa

$\rho = 1.293$ kg/m$^3$

$g = 9.80$ m/s$^2$

$z = 1000$ m

ベルヌーイの定理より、

$P_0 + \rho g (0) = P + \rho g (1000)$

$P_0 = P + \rho g (1000)$

したがって、1000 m上空の気圧$P$は、

$P = P_0 - \rho g z$

$P = 1.013 \times 10^5 - 1.293 \times 9.80 \times 1000$

$P = 101300 - 12671.4$

$P = 88628.6$ Pa

有効数字3桁で表すと、$P = 8.86 \times 10^4$ Pa

3. 最終的な答え

$8.86 \times 10^4$ Pa