以下の3つの2階線形同次微分方程式の一般解を求めます。ただし、独立変数$x$、未知関数$y(x)$は実数であり、最終結果に複素関数が残らないようにします。 (a) $4y'' + 2y' + y = 0$ (b) $3y'' + 4y' - y = 0$ (c) $5y'' + 4\sqrt{5}y' + 4y = 0$

1. 問題の内容

以下の3つの2階線形同次微分方程式の一般解を求めます。ただし、独立変数$x$、未知関数$y(x)$は実数であり、最終結果に複素関数が残らないようにします。

(a) $4y'' + 2y' + y = 0$

(b) $3y'' + 4y' - y = 0$

(c) $5y'' + 4\sqrt{5}y' + 4y = 0$

2. 解き方の手順

それぞれの微分方程式に対して、特性方程式を立て、その解を求めることで一般解を求めます。

(a) $4y'' + 2y' + y = 0$

特性方程式は $4r^2 + 2r + 1 = 0$です。

この二次方程式を解くと、

$r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(4)(1)}}{2(4)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{8} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{3}}{8} = -\frac{1}{4} \pm \frac{\sqrt{3}}{4}i$

したがって、一般解は

$y(x) = e^{-\frac{1}{4}x} \left(c_1 \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{4}x\right) + c_2 \sin\left(\frac{\sqrt{3}}{4}x\right)\right)$

(b) $3y'' + 4y' - y = 0$

特性方程式は $3r^2 + 4r - 1 = 0$です。

この二次方程式を解くと、

$r = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 12}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{7}}{3}$

したがって、一般解は

$y(x) = c_1 e^{\left(\frac{-2 + \sqrt{7}}{3}\right)x} + c_2 e^{\left(\frac{-2 - \sqrt{7}}{3}\right)x}$

(c) $5y'' + 4\sqrt{5}y' + 4y = 0$

特性方程式は $5r^2 + 4\sqrt{5}r + 4 = 0$です。

この二次方程式を解くと、

$r = \frac{-4\sqrt{5} \pm \sqrt{(4\sqrt{5})^2 - 4(5)(4)}}{2(5)} = \frac{-4\sqrt{5} \pm \sqrt{80 - 80}}{10} = \frac{-4\sqrt{5}}{10} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

したがって、重根なので、一般解は

$y(x) = c_1 e^{-\frac{2\sqrt{5}}{5}x} + c_2 x e^{-\frac{2\sqrt{5}}{5}x}$

3. 最終的な答え

(a) $y(x) = e^{-\frac{1}{4}x} \left(c_1 \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{4}x\right) + c_2 \sin\left(\frac{\sqrt{3}}{4}x\right)\right)$

(b) $y(x) = c_1 e^{\left(\frac{-2 + \sqrt{7}}{3}\right)x} + c_2 e^{\left(\frac{-2 - \sqrt{7}}{3}\right)x}$

(c) $y(x) = c_1 e^{-\frac{2\sqrt{5}}{5}x} + c_2 x e^{-\frac{2\sqrt{5}}{5}x}$