ばね定数 $k$ のばねに質量 $m$ の物体がつながり、滑らかな水平面上を運動する。物体には復元力と粘性抵抗力が働く。$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ かつ $\kappa = \frac{\gamma}{2m}$ とし、$\omega_0 = \kappa$ の時、ばねの自然長からの変位 $x(t)$ の一般解が $x(t) = (at + b)e^{-\omega_0 t}$ ($a, b$: 任意定数) で与えられる。初期条件 $x(0) = 0$, $\dot{x}(0) = V_0 > 0$ を満たす特殊解を求め、その $t$ の関数としてのグラフを描く。

1. 問題の内容

ばね定数 $k$ のばねに質量 $m$ の物体がつながり、滑らかな水平面上を運動する。物体には復元力と粘性抵抗力が働く。$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ かつ $\kappa = \frac{\gamma}{2m}$ とし、$\omega_0 = \kappa$ の時、ばねの自然長からの変位 $x(t)$ の一般解が $x(t) = (at + b)e^{-\omega_0 t}$ ($a, b$: 任意定数) で与えられる。初期条件 $x(0) = 0$, $\dot{x}(0) = V_0 > 0$ を満たす特殊解を求め、その $t$ の関数としてのグラフを描く。

2. 解き方の手順

まず、与えられた一般解 $x(t)$ に初期条件を適用して、定数 $a$ と $b$ を決定する。

$x(t) = (at + b)e^{-\omega_0 t}$

$x(0) = 0$ を適用する:

$x(0) = (a \cdot 0 + b)e^{-\omega_0 \cdot 0} = b \cdot e^0 = b = 0$

したがって、$b = 0$ なので、$x(t) = ate^{-\omega_0 t}$ となる。

次に、速度 $\dot{x}(t)$ を計算する:

$\dot{x}(t) = \frac{d}{dt}(ate^{-\omega_0 t}) = a e^{-\omega_0 t} + at (-\omega_0) e^{-\omega_0 t} = a e^{-\omega_0 t} - a \omega_0 t e^{-\omega_0 t} = a e^{-\omega_0 t}(1 - \omega_0 t)$

$\dot{x}(0) = V_0$ を適用する:

$\dot{x}(0) = a e^{-\omega_0 \cdot 0}(1 - \omega_0 \cdot 0) = a e^0 (1 - 0) = a \cdot 1 \cdot 1 = a = V_0$

したがって、$a = V_0$ となる。

したがって、特殊解は $x(t) = V_0 t e^{-\omega_0 t}$ となる。

グラフについて:

$x(t) = V_0 t e^{-\omega_0 t}$ のグラフを考える。

* $t = 0$ で $x(0) = 0$

* $t \to \infty$ で $x(t) \to 0$ (指数関数の方が速く減衰する)

* $x'(t) = V_0 (e^{-\omega_0 t} - \omega_0 t e^{-\omega_0 t}) = V_0 e^{-\omega_0 t}(1 - \omega_0 t)$

* $x'(t) = 0$ となるのは、$1 - \omega_0 t = 0$ のとき、つまり $t = \frac{1}{\omega_0}$

$t = \frac{1}{\omega_0}$ で最大値をとる。

$x(\frac{1}{\omega_0}) = V_0 \frac{1}{\omega_0} e^{-\omega_0 \frac{1}{\omega_0}} = \frac{V_0}{\omega_0} e^{-1} = \frac{V_0}{e \omega_0}$

グラフは原点から始まり、最初は正の方向に増加し、$t = \frac{1}{\omega_0}$ で最大値 $\frac{V_0}{e \omega_0}$ をとり、その後は減少して $t \to \infty$ で 0 に近づく。

3. 最終的な答え

特殊解は、

$x(t) = V_0 t e^{-\omega_0 t}$

グラフについては上記の通り。