圧力 $5.0 \text{ MPa}$、比体積 $0.15 \text{ m}^3/\text{kg}$ の気体が、温度を一定に保ったまま体積を $5.0$ 倍に変化させた。この時の単位質量 $(1.0 \text{ kg})$ 当たりの仕事を求める。

1. 問題の内容

圧力 $5.0 \text{ MPa}$、比体積 $0.15 \text{ m}^3/\text{kg}$ の気体が、温度を一定に保ったまま体積を $5.0$ 倍に変化させた。この時の単位質量 $(1.0 \text{ kg})$ 当たりの仕事を求める。

2. 解き方の手順

この過程は等温過程であるため、仕事は次の式で計算できます。

$W = \int_{V_1}^{V_2} p \, dV$

ここで、$V_1$ は初期体積、$V_2$ は最終体積です。等温過程では、$pV = \text{const.}$ が成り立つため、$p = \frac{C}{V}$ と書けます。

$W = \int_{V_1}^{V_2} \frac{C}{V} \, dV = C \int_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V} \, dV = C [\ln V]_{V_1}^{V_2} = C (\ln V_2 - \ln V_1) = C \ln \frac{V_2}{V_1}$

初期状態において、$p_1 = 5.0 \text{ MPa} = 5.0 \times 10^6 \text{ Pa}$、$v_1 = 0.15 \text{ m}^3/\text{kg}$ です。

最終体積は初期体積の $5.0$ 倍なので、$V_2 = 5.0 V_1$。

$V_2/V_1 = 5.0$

$p_1 V_1 = C$ より、$C = 5.0 \times 10^6 \text{ Pa} \times 0.15 \text{ m}^3/\text{kg} = 0.75 \times 10^6 \text{ J/kg}$

$W = p_1 V_1 \ln \frac{V_2}{V_1} = (5.0 \times 10^6 \text{ Pa}) \times (0.15 \text{ m}^3/\text{kg}) \times \ln 5.0$

$W = 0.75 \times 10^6 \text{ J/kg} \times \ln 5.0$

$W = 0.75 \times 10^6 \text{ J/kg} \times 1.6094$

$W = 1.207 \times 10^6 \text{ J/kg}$

$W = 1207 \text{ kJ/kg}$

3. 最終的な答え

$1207 \text{ kJ/kg}$