N回巻きの長方形コイルKLMNが、磁束密度Bの一様な磁場の中で角速度ωで回転する。時刻tにおけるコイルを貫く磁束Φ、発生する交流起電力V、抵抗Rにおける消費電力Pをそれぞれ求め、さらに交流起電力の最大値V₀と実効値Vₑ、平均消費電力Pを求めよ。

1. 問題の内容

N回巻きの長方形コイルKLMNが、磁束密度Bの一様な磁場の中で角速度ωで回転する。時刻tにおけるコイルを貫く磁束Φ、発生する交流起電力V、抵抗Rにおける消費電力Pをそれぞれ求め、さらに交流起電力の最大値V₀と実効値Vₑ、平均消費電力Pを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 時刻tにおける磁束Φを求める。

コイル面の法線ベクトルをab方向にとり、磁束がa→bの向きに貫くときΦ>0、b→aの向きに貫くときΦ<0とする。

時刻t=0で面KLMNが磁場に垂直なので、時刻tにおけるコイル面の法線と磁場のなす角はωtとなる。したがって、コイルを貫く磁束Φは、コイルの面積S、磁束密度Bを用いて、

$\Phi = NBS \cos(\omega t)$

(2) 交流起電力Vを求める。

ファラデーの電磁誘導の法則より、起電力Vは磁束の時間変化に比例する。

$V = - \frac{d\Phi}{dt} = - \frac{d}{dt} (NBS \cos(\omega t)) = NBS \omega \sin(\omega t)$

交流起電力の最大値V₀は、$V = NBS \omega \sin(\omega t)$の最大値なので、

$V_0 = NBS \omega$

実効値Vₑは、

$V_e = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{NBS \omega}{\sqrt{2}}$

(3) 抵抗における消費電力Pを求める。

抵抗Rに加わる電圧はVなので、消費電力Pは、

$P = \frac{V^2}{R} = \frac{(NBS \omega \sin(\omega t))^2}{R} = \frac{V_0^2 \sin^2(\omega t)}{R}$

平均消費電力Pは、$\sin^2(\omega t)$の1周期における平均値が1/2であることから、

$\overline{P} = \frac{V_0^2}{2R} = \frac{(NBS\omega)^2}{2R}$

また、電流の実効値をIₑとすると、

$\overline{P} = RI_e^2$

より、

$RI_e^2 = \frac{(NBS\omega)^2}{2R}$

$I_e = \frac{NBS\omega}{\sqrt{2}R}$

3. 最終的な答え

(1) $\Phi = NBS \cos(\omega t)$

(2) $V = NBS \omega \sin(\omega t)$, $V_0 = NBS \omega$, $V_e = \frac{NBS \omega}{\sqrt{2}}$

(3) $P = \frac{V_0^2 \sin^2(\omega t)}{R}$, $\overline{P} = RI_e^2 = \frac{(NBS\omega)^2}{2R}$

, $I_e = \frac{NBS\omega}{\sqrt{2}R}$