理想気体が断熱圧縮される過程において、初期状態の圧力 $P_1$、比体積 $v_1$、比熱比 $k$ が与えられ、最終状態の圧力 $P_2$ が与えられたとき、最終状態の比体積 $v_2$ を求める問題です。 $P_1 = 0.10 \text{ MPa}$、 $v_1 = 0.850 \text{ m}^3/\text{kg}$、 $k = 1.4$、 $P_2 = 0.50 \text{ MPa}$ です。

1. 問題の内容

理想気体が断熱圧縮される過程において、初期状態の圧力 $P_1$、比体積 $v_1$、比熱比 $k$ が与えられ、最終状態の圧力 $P_2$ が与えられたとき、最終状態の比体積 $v_2$ を求める問題です。

$P_1 = 0.10 \text{ MPa}$、 $v_1 = 0.850 \text{ m}^3/\text{kg}$、 $k = 1.4$、 $P_2 = 0.50 \text{ MPa}$ です。

2. 解き方の手順

断熱過程においては、以下の関係式が成り立ちます。

$P_1 v_1^k = P_2 v_2^k$

この式から $v_2$ を求めます。

$v_2^k = \frac{P_1}{P_2} v_1^k$

$v_2 = \left( \frac{P_1}{P_2} \right)^{\frac{1}{k}} v_1$

与えられた値を代入します。

$v_2 = \left( \frac{0.10}{0.50} \right)^{\frac{1}{1.4}} \times 0.850$

$v_2 = \left( \frac{1}{5} \right)^{\frac{1}{1.4}} \times 0.850$

$v_2 = (0.2)^{\frac{1}{1.4}} \times 0.850$

$v_2 \approx 0.349 \times 0.850$

$v_2 \approx 0.29665$

3. 最終的な答え

$v_2 \approx 0.297 \text{ m}^3/\text{kg}$