直径 $d = 80 \text{ mm}$ の滑らかな円管内をオイルが流れている。レイノルズ数 $\text{Re} = 3.4 \times 10^3$ の場合、管内を流れる流量 $Q$ および質量流量 $\dot{m}$ を求めよ。ただし、このオイルの密度は $\rho = 870 \text{ kg/m}^3$ 、粘性係数は $\mu = 6.4 \times 10^{-3} \text{ Pa}\cdot\text{s}$ とする。

1. 問題の内容

直径 $d = 80 \text{ mm}$ の滑らかな円管内をオイルが流れている。レイノルズ数 $\text{Re} = 3.4 \times 10^3$ の場合、管内を流れる流量 $Q$ および質量流量 $\dot{m}$ を求めよ。ただし、このオイルの密度は $\rho = 870 \text{ kg/m}^3$ 、粘性係数は $\mu = 6.4 \times 10^{-3} \text{ Pa}\cdot\text{s}$ とする。

2. 解き方の手順

まず、レイノルズ数の定義式から平均流速 $v$ を求める。レイノルズ数の定義式は次の通りである。

$$\text{Re} = \frac{\rho v d}{\mu}$$

ここで、$\rho$ は密度、 $v$ は平均流速、 $d$ は直径、 $\mu$ は粘性係数である。

この式を $v$ について解くと、

$$v = \frac{\text{Re} \cdot \mu}{\rho \cdot d}$$

与えられた値を代入すると、

$$v = \frac{3.4 \times 10^3 \cdot 6.4 \times 10^{-3}}{870 \cdot 80 \times 10^{-3}} = \frac{3.4 \times 6.4}{870 \times 80 \times 10^{-3} \times 10^{-3} \times 10^{3}} \approx 0.313 \text{ m/s}$$

次に、流量 $Q$ を求める。流量は平均流速と断面積の積で与えられる。

$$Q = v \cdot A = v \cdot \frac{\pi d^2}{4}$$

$v = 0.313 \text{ m/s}$ および $d = 80 \times 10^{-3} \text{ m}$ を代入すると、

$$Q = 0.313 \cdot \frac{\pi (80 \times 10^{-3})^2}{4} = 0.313 \cdot \pi \cdot (0.08)^2/4 \approx 1.571 \times 10^{-3} \text{ m}^3\text{/s}$$

最後に、質量流量 $\dot{m}$ を求める。質量流量は密度と流量の積で与えられる。

$$\dot{m} = \rho \cdot Q$$

$\rho = 870 \text{ kg/m}^3$ および $Q = 1.571 \times 10^{-3} \text{ m}^3\text{/s}$ を代入すると、

$$\dot{m} = 870 \cdot 1.571 \times 10^{-3} \approx 1.367 \text{ kg/s}$$

3. 最終的な答え

流量 $Q \approx 1.571 \times 10^{-3} \text{ m}^3\text{/s}$

質量流量 $\dot{m} \approx 1.367 \text{ kg/s}$