水平な地面に点Oがあり、高さ$h$の点Pから小球Aを自由落下させると同時に、点Oから距離$h$の点Qから点Pに向かって小球Bを斜方投射する。重力加速度の大きさを$g$とする。 問1：小球Bの初速が$v_1$のとき、小球Aが点Oに達すると同時に、小球Bも点Oに達した。この時の$v_1$を求める。 問2：小球Bの初速を$v_2$にして同様の実験を行うと、小球Aが点Pから$h/2$だけ落下したとき、小球Bと衝突した。この時の$v_2$を求める。 問3：問2の時、小球Aに衝突する直前の小球Bの速さを求める。

1. 問題の内容

水平な地面に点Oがあり、高さ$h$の点Pから小球Aを自由落下させると同時に、点Oから距離$h$の点Qから点Pに向かって小球Bを斜方投射する。重力加速度の大きさを$g$とする。

問1：小球Bの初速が$v_1$のとき、小球Aが点Oに達すると同時に、小球Bも点Oに達した。この時の$v_1$を求める。

問2：小球Bの初速を$v_2$にして同様の実験を行うと、小球Aが点Pから$h/2$だけ落下したとき、小球Bと衝突した。この時の$v_2$を求める。

問3：問2の時、小球Aに衝突する直前の小球Bの速さを求める。

2. 解き方の手順

**問1:**

小球Aが点Oに達するまでの時間$t$は、自由落下の公式より

$h = \frac{1}{2}gt^2$

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

小球Bが点Oに達するまでの時間も$t$である。小球Bの水平方向の速度成分$v_{1x}$は、

$v_{1x} = \frac{h}{t} = \frac{h}{\sqrt{\frac{2h}{g}}} = h \sqrt{\frac{g}{2h}} = \sqrt{\frac{gh}{2}}$

小球Bは点Qから点Pに向かって斜方投射されているので、投射角は45度である。

したがって、$v_{1x} = v_1 \cos 45^\circ = v_1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

$v_1 = \frac{v_{1x}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{\frac{gh}{2}}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{\frac{gh}{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{gh}$

**問2:**

小球Aが$h/2$落下するまでの時間$t'$は、

$\frac{h}{2} = \frac{1}{2}gt'^2$

$t' = \sqrt{\frac{h}{g}}$

小球Bの水平方向の速度成分$v_{2x}$は、

$v_{2x} = \frac{h}{t'} = \frac{h}{\sqrt{\frac{h}{g}}} = h \sqrt{\frac{g}{h}} = \sqrt{gh}$

$v_{2x} = v_2 \cos 45^\circ = v_2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

$v_2 = \frac{v_{2x}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{gh}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{gh} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2gh}$

**問3:**

小球Bの鉛直方向の速度成分$v_{2y}$は、

$v_{2y} = v_2 \sin 45^\circ = \sqrt{2gh} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{gh}$

衝突直前の小球Bの鉛直方向の速度$v_{by}$は、

$v_{by} = v_{2y} - gt' = \sqrt{gh} - g \sqrt{\frac{h}{g}} = \sqrt{gh} - \sqrt{gh} = 0$

したがって、衝突直前の小球Bの速さは、$v_{2x} = \sqrt{gh}$

3. 最終的な答え

問1: $\sqrt{gh}$

問2: $\sqrt{2gh}$

問3: $\sqrt{gh}$