生産関数が $Y = (K^{0.5} + L^{0.5})^2$ で与えられている。資本のレンタル価格を $r$, 労働の賃金を $w$ とする。 (1) 生産要素の相対価格 $(w/r)$ が1%上がるとき、労働と資本の投入比 $(L/K)$ が何%下がるか。 (2) 費用関数 $Cost = rK + wL = Y(r^B + w^C)^D$ の $B$, $C$, $D$ の値を求める。

1. 問題の内容

生産関数が $Y = (K^{0.5} + L^{0.5})^2$ で与えられている。資本のレンタル価格を $r$, 労働の賃金を $w$ とする。

(1) 生産要素の相対価格 $(w/r)$ が1%上がるとき、労働と資本の投入比 $(L/K)$ が何%下がるか。

(2) 費用関数 $Cost = rK + wL = Y(r^B + w^C)^D$ の $B$, $C$, $D$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

費用最小化問題を考える。

$Cost = rK + wL$ を最小化する。

ラグランジュ関数は $\mathcal{L} = rK + wL - \lambda((K^{0.5} + L^{0.5})^2 - Y)$ である。

一階の条件は次の通りである。

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial K} = r - \lambda 2 (K^{0.5} + L^{0.5}) \cdot 0.5 K^{-0.5} = 0$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L} = w - \lambda 2 (K^{0.5} + L^{0.5}) \cdot 0.5 L^{-0.5} = 0$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = (K^{0.5} + L^{0.5})^2 - Y = 0$

最初の2つの式から $\lambda$ を消去する。

$\frac{r}{w} = \frac{K^{-0.5}}{L^{-0.5}}$

$\frac{L^{0.5}}{K^{0.5}} = \frac{w}{r}$

$\frac{L}{K} = (\frac{w}{r})^2$

相対価格 $(w/r)$ が1%上がると $(L/K)$ は $(1.01)^2 \approx 1.02$ となり、約2%上昇する。したがって、 $(L/K)$ は -2% 下がる。

(2)

$Y = (K^{0.5} + L^{0.5})^2$ より、

$K^{0.5} = \sqrt{Y} - L^{0.5}$

$K = (\sqrt{Y} - L^{0.5})^2 = Y - 2\sqrt{Y}L^{0.5} + L$

$rK + wL = r(Y - 2\sqrt{Y}L^{0.5} + L) + wL = rY + (w+r)L - 2r\sqrt{Y}L^{0.5}$

$(L/K) = (w/r)^2$ より $L = K(w/r)^2$

費用最小化条件 $rK + wL$ より、 $rK + w(w/r)^2K = rK + w^3/r^2 K = K(r + w^3/r^2)$

$rK + wL = rK + wL = Y(r^{0.5} + w^{0.5})^2$ となるはず。

$\frac{L}{K} = (\frac{w}{r})^2$　であるから、$L = K(w/r)^2$

費用は $rK + wL = rK + w(w/r)^2 K = rK + (w^3/r^2)K = K(r + w^3/r^2)$

問題文より$Cost = rK + wL = Y(r^B + w^C)^D$

$Cost = Y((r^{1/2}) ^2(K/Y) + (w^{1/2})^2(L/Y)$

$Cost = Y[r^{B}+w^{C}]^{D}$. となるためにはコブダグラス型を考えないといけない。

$K^{0.5}$と$L^{0.5}$の係数が1なので、$Y = (K^{0.5} + L^{0.5})^2$で、$K^{0.5}+L^{0.5} = Y^{0.5}$であり、$K=0, L=Y$で$Cost = wY$、$L=0, K=Y$で$Cost = rY$である。

$rK+wL = Y(r^B + w^C)^D$は同次関数であり、次数は1である必要があるので、$B=C=0.5$，$D=2$が候補になる。

$Cost = Y(r^{0.5} + w^{0.5})^2 = Y(r + w + 2(rw)^{0.5})$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) B = 0.5, C = 0.5, D = 1

または

B = 1, C=1, D=1