xy平面内で、ポテンシャルが $U = -x^2 + 2y$ であるような保存力$\vec{F}$が物体に作用している。 (1) 点(x,y) = (1, 1)にある物体に作用する力$\vec{F}$を求めよ。 (2) この物体が点(1, 1)から点(2, 0)に移動する間に、$\vec{F}$がこの物体にした仕事を求めよ。

1. 問題の内容

xy平面内で、ポテンシャルが $U = -x^2 + 2y$ であるような保存力$\vec{F}$が物体に作用している。

(1) 点(x,y) = (1, 1)にある物体に作用する力$\vec{F}$を求めよ。

(2) この物体が点(1, 1)から点(2, 0)に移動する間に、$\vec{F}$がこの物体にした仕事を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

保存力$\vec{F}$はポテンシャルの勾配の負の符号で与えられます。つまり、

$\vec{F} = -\nabla U = -(\frac{\partial U}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial U}{\partial y}\vec{j})$

ポテンシャル $U = -x^2 + 2y$ を偏微分します。

$\frac{\partial U}{\partial x} = -2x$

$\frac{\partial U}{\partial y} = 2$

したがって、力$\vec{F}$は次のようになります。

$\vec{F} = -(-2x\vec{i} + 2\vec{j}) = 2x\vec{i} - 2\vec{j}$

点(1, 1)における力$\vec{F}$は、x = 1を代入して

$\vec{F}(1,1) = 2(1)\vec{i} - 2\vec{j} = 2\vec{i} - 2\vec{j}$

(2)

保存力のする仕事は、ポテンシャルの変化の負の符号で与えられます。

$W = -\Delta U = -(U(2,0) - U(1,1))$

$U(2,0) = -(2)^2 + 2(0) = -4$

$U(1,1) = -(1)^2 + 2(1) = -1 + 2 = 1$

$W = -(-4 - 1) = -(-5) = 5$

3. 最終的な答え

(1) $2\vec{i} - 2\vec{j}$

(2) 5