$xy$平面内で、ポテンシャルが$U = -x^2 + 2y$であるような保存力$\vec{F}$が物体に作用している。 (1) 点$(x, y) = (1, 1)$にある物体に作用する力$\vec{F}$を求めよ。 (2) この物体が点$(1, 1)$から点$(2, 0)$に移動する間に、$\vec{F}$がこの物体にした仕事を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$平面内で、ポテンシャルが$U = -x^2 + 2y$であるような保存力$\vec{F}$が物体に作用している。

(1) 点$(x, y) = (1, 1)$にある物体に作用する力$\vec{F}$を求めよ。

(2) この物体が点$(1, 1)$から点$(2, 0)$に移動する間に、$\vec{F}$がこの物体にした仕事を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 保存力$\vec{F}$はポテンシャル$U$を用いて、次のように表される。

$\vec{F} = -\nabla U = -(\frac{\partial U}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial U}{\partial y}\vec{j})$

ポテンシャル$U = -x^2 + 2y$を$x$と$y$で偏微分すると、

$\frac{\partial U}{\partial x} = -2x$

$\frac{\partial U}{\partial y} = 2$

よって、力$\vec{F}$は

$\vec{F} = -(-2x\vec{i} + 2\vec{j}) = 2x\vec{i} - 2\vec{j}$

点$(x, y) = (1, 1)$における力$\vec{F}$は、

$\vec{F}(1, 1) = 2(1)\vec{i} - 2\vec{j} = 2\vec{i} - 2\vec{j}$

(2) 保存力のする仕事$W$は、ポテンシャルの変化で求められる。

$W = -\Delta U = -(U_f - U_i)$

ここで、$U_i$は初期ポテンシャル、$U_f$は終点ポテンシャルである。

初期点$(1, 1)$におけるポテンシャルは、

$U_i = -(1)^2 + 2(1) = -1 + 2 = 1$

終点$(2, 0)$におけるポテンシャルは、

$U_f = -(2)^2 + 2(0) = -4 + 0 = -4$

したがって、仕事$W$は

$W = -(-4 - 1) = -(-5) = 5$

3. 最終的な答え

(1) $2\vec{i} - 2\vec{j}$

(2) 5