ある応力状態が与えられています。$\sigma_x = 120$ MPa、$\sigma_y = 40$ MPa、$\tau_{xy} = 35$ MPaです。モール円を描く過程で、円の中心点C、モール円の半径r、最大主応力$\sigma_1$と最小主応力$\sigma_2$、主面の角度$\theta$を順に求め、提示されている3つの答えの選択肢から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

ある応力状態が与えられています。$\sigma_x = 120$ MPa、$\sigma_y = 40$ MPa、$\tau_{xy} = 35$ MPaです。モール円を描く過程で、円の中心点C、モール円の半径r、最大主応力$\sigma_1$と最小主応力$\sigma_2$、主面の角度$\theta$を順に求め、提示されている3つの答えの選択肢から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、モール円の中心Cを求めます。

$C = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{120 + 40}{2} = \frac{160}{2} = 80$ MPa

次に、モール円の半径rを求めます。

$r = \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2} = \sqrt{(\frac{120 - 40}{2})^2 + 35^2} = \sqrt{(\frac{80}{2})^2 + 35^2} = \sqrt{40^2 + 35^2} = \sqrt{1600 + 1225} = \sqrt{2825} \approx 53.15$ MPa

次に、最大主応力$\sigma_1$と最小主応力$\sigma_2$を求めます。

$\sigma_1 = C + r = 80 + 53.15 \approx 133.15$ MPa

$\sigma_2 = C - r = 80 - 53.15 \approx 26.85$ MPa

最後に、主面の角度$\theta$を求めます。

$tan(2\theta) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y} = \frac{2 \cdot 35}{120 - 40} = \frac{70}{80} = \frac{7}{8} = 0.875$

$2\theta = arctan(0.875) \approx 41.186^\circ$

$\theta = \frac{41.186}{2} \approx 20.59^\circ$

3. 最終的な答え

C: 80

r: 53

$\sigma_1, \sigma_2$: 133, 27

$\theta$: 20.6 (deg)