与えられた応力テンソル $\sigma = \begin{bmatrix} 70 & 30 & 0 \\ 30 & 70 & 0 \\ 0 & 0 & 10 \end{bmatrix}$ (単位はMPa) の主応力 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ ($ \sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$ ) を求め、正しい組み合わせを選択する問題です。

1. 問題の内容

与えられた応力テンソル $\sigma = \begin{bmatrix} 70 & 30 & 0 \\ 30 & 70 & 0 \\ 0 & 0 & 10 \end{bmatrix}$ (単位はMPa) の主応力 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ ($\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$ ) を求め、正しい組み合わせを選択する問題です。

2. 解き方の手順

主応力は応力テンソルの固有値として求められます。固有値を求めるには、特性方程式 $| \sigma - \lambda I | = 0$ を解きます。ここで$I$は単位行列、$\lambda$が固有値（主応力）です。

$\sigma - \lambda I = \begin{bmatrix} 70 - \lambda & 30 & 0 \\ 30 & 70 - \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 10 - \lambda \end{bmatrix}$

$|\sigma - \lambda I| = (10 - \lambda) \begin{vmatrix} 70 - \lambda & 30 \\ 30 & 70 - \lambda \end{vmatrix} = 0$

$(10 - \lambda) ((70 - \lambda)^2 - 30^2) = 0$

$(10 - \lambda) ((70 - \lambda) - 30)((70 - \lambda) + 30) = 0$

$(10 - \lambda) (40 - \lambda)(100 - \lambda) = 0$

したがって、固有値（主応力）は $\lambda_1 = 100, \lambda_2 = 40, \lambda_3 = 10$ です。

主応力の大小関係を考慮すると、$\sigma_1 = 100, \sigma_2 = 40, \sigma_3 = 10$となります。

3. 最終的な答え

100, 40, 10