点Pにおける応力状態がコーシー応力テンソル $\sigma$ で与えられており、点Pを通り法線ベクトル $\mathbf{n}$ を持つ面を考える。この面に作用する応力ベクトル（トラクション）$\mathbf{t}^{(n)}$ に最も近い値を求める。 与えられているものは以下のとおり。 $\sigma = \begin{bmatrix} 80 & 25 & 15 \\ 25 & 50 & -20 \\ 15 & -20 & -30 \end{bmatrix}$ (単位: MPa) $\mathbf{n} = \begin{Bmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{Bmatrix}$

1. 問題の内容

点Pにおける応力状態がコーシー応力テンソル $\sigma$ で与えられており、点Pを通り法線ベクトル $\mathbf{n}$ を持つ面を考える。この面に作用する応力ベクトル（トラクション）$\mathbf{t}^{(n)}$ に最も近い値を求める。

与えられているものは以下のとおり。

$\sigma = \begin{bmatrix} 80 & 25 & 15 \\ 25 & 50 & -20 \\ 15 & -20 & -30 \end{bmatrix}$ (単位: MPa)

$\mathbf{n} = \begin{Bmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{Bmatrix}$

2. 解き方の手順

応力ベクトル（トラクション）$\mathbf{t}^{(n)}$ は、コーシー応力テンソル $\sigma$ と法線ベクトル $\mathbf{n}$ を用いて次のように計算できる。

$\mathbf{t}^{(n)} = \sigma \mathbf{n}$

行列の掛け算を実行する。

$\mathbf{t}^{(n)} = \begin{bmatrix} 80 & 25 & 15 \\ 25 & 50 & -20 \\ 15 & -20 & -30 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \frac{80+25+15}{\sqrt{3}} \\ \frac{25+50-20}{\sqrt{3}} \\ \frac{15-20-30}{\sqrt{3}} \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \frac{120}{\sqrt{3}} \\ \frac{55}{\sqrt{3}} \\ \frac{-35}{\sqrt{3}} \end{Bmatrix}$

$\sqrt{3} \approx 1.732$ であるので、各成分を計算する。

$\mathbf{t}^{(n)} \approx \begin{Bmatrix} \frac{120}{1.732} \\ \frac{55}{1.732} \\ \frac{-35}{1.732} \end{Bmatrix} \approx \begin{Bmatrix} 69.3 \\ 31.7 \\ -20.2 \end{Bmatrix}$

単位は MPaである。

3. 最終的な答え

$\mathbf{t}^{(n)} \approx \begin{bmatrix} 69 \\ 32 \\ -20 \end{bmatrix}$ MPa