高さ44.1mの崖から水平方向に29.4m/sの速さで小石を投げ出したときの運動について、以下の設問に答える。 (1) 点Pにおける、物体にはたらく力の向き、加速度の向き、速度の向きをそれぞれ矢印で図示する。 (2) 2.0秒後の小石の水平方向および鉛直方向の速度をそれぞれ求める。 (3) 2.0秒後の小石の水平方向および鉛直方向の位置を求める。 (4) 小石が海面に達するのは投げ出してから何秒後か。 (5) 落ちる直前の速度の大きさはどれだけか。 (6) 投げた地点から着水地点までの水平距離を求める。

1. 問題の内容

高さ44.1mの崖から水平方向に29.4m/sの速さで小石を投げ出したときの運動について、以下の設問に答える。

(1) 点Pにおける、物体にはたらく力の向き、加速度の向き、速度の向きをそれぞれ矢印で図示する。

(2) 2.0秒後の小石の水平方向および鉛直方向の速度をそれぞれ求める。

(3) 2.0秒後の小石の水平方向および鉛直方向の位置を求める。

(4) 小石が海面に達するのは投げ出してから何秒後か。

(5) 落ちる直前の速度の大きさはどれだけか。

(6) 投げた地点から着水地点までの水平距離を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Pにおける力の向き、加速度の向き、速度の向き

* 物体にはたらく力：重力のみなので、鉛直下向き。

* 加速度の向き：重力加速度と同じで、鉛直下向き。

* 速度の向き：水平方向の速度と鉛直方向の速度の合成ベクトルなので、斜め下向き。

(2) 2.0秒後の速度

* 水平方向の速度 $v_x$：水平方向には力が働かないので、速度は一定。

$v_x = 29.4 \text{ m/s}$

* 鉛直方向の速度 $v_y$：鉛直方向には重力加速度$g = 9.8 \text{ m/s}^2$が働くので、

$v_y = gt = 9.8 \times 2.0 = 19.6 \text{ m/s}$ (下向き)

(3) 2.0秒後の位置

* 水平方向の位置 $x$：

$x = v_x t = 29.4 \times 2.0 = 58.8 \text{ m}$

* 鉛直方向の位置 $y$：

$y = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (2.0)^2 = 19.6 \text{ m}$

崖からの落下距離なので、高さは $44.1 - 19.6 = 24.5 \text{ m}$

(4) 海面に達するまでの時間

* 鉛直方向の運動を考える。初期高度 $h = 44.1 \text{ m}$ から落下する時間を $t$ とする。

$h = \frac{1}{2} g t^2$

$44.1 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$

$t^2 = \frac{2 \times 44.1}{9.8} = 9$

$t = 3.0 \text{ s}$

(5) 落ちる直前の速度

* 水平方向の速度 $v_x$：変わらず $29.4 \text{ m/s}$

* 鉛直方向の速度 $v_y$：

$v_y = gt = 9.8 \times 3.0 = 29.4 \text{ m/s}$

* 速度の大きさ $v$：

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(29.4)^2 + (29.4)^2} = 29.4 \sqrt{2} \approx 41.6 \text{ m/s}$

(6) 水平距離

* 水平距離 $x$：

$x = v_x t = 29.4 \times 3.0 = 88.2 \text{ m}$

3. 最終的な答え

(1) 図示は省略

(2) 水平方向の速度：29.4 m/s, 鉛直方向の速度：19.6 m/s

(3) 水平方向の位置：58.8 m, 鉛直方向の位置：24.5 m (崖からの高さ)

(4) 3.0 秒後

(5) 41.6 m/s

(6) 88.2 m