ある通信会社の携帯電話の料金プランが与えられています。花子さんと太郎さんの1か月の通話時間$x$分が与えられ、それぞれのプランにおける利用料金$P$円、$Q$円を求め、それらに関する条件を満たす$x$の値を求める問題です。

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

ある通信会社の携帯電話の料金プランが与えられています。花子さんと太郎さんの1か月の通話時間$x$分が与えられ、それぞれのプランにおける利用料金$P$円、$Q$円を求め、それらに関する条件を満たす$x$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 花子さんのプランAの利用料金$P$が7000円になるような$x$の値を求めます。プランAの基本料金は6000円なので、通話料金は$7000 - 6000 = 1000$円です。240分を超えた分の通話料金が1分あたり10円なので、240分を超えた時間は$1000 / 10 = 100$分です。したがって、$x = 240 + 100 = 340$分となります。

(2) 花子さんのプランAの利用料金$P$と太郎さんのプランBの利用料金$Q$の差の絶対値 $|P-Q|$ が1200円となるような$x$の値を求めます。

まず、花子さんの利用料金$P$を求めます。$x > 240$のとき、$P = 6000 + 10(x - 240)$となります。

次に、太郎さんの利用料金$Q$を求めます。$Q = 500 + 20x$となります。

$|P-Q| = 1200$なので、2つの場合を考えます。

(a) $P - Q = 1200$のとき：

$6000 + 10(x - 240) - (500 + 20x) = 1200$

$6000 + 10x - 2400 - 500 - 20x = 1200$

$-10x + 3100 = 1200$

$10x = 1900$

$x = 190$

このとき、$x=190$なので、$x>240$の条件を満たさない。

(b) $Q - P = 1200$のとき：

$500 + 20x - (6000 + 10(x - 240)) = 1200$

$500 + 20x - 6000 - 10x + 2400 = 1200$

$10x - 3100 = 1200$

$10x = 4300$

$x = 430$

このとき、$x=430$なので、$x>240$の条件を満たす。

したがって、$x = 430$です。

(3) 花子さんがプランCを利用し、太郎さんがプランBを利用する場合について、以下の2つの条件を満たす$x$の範囲を求めます。

条件1：$|P-Q| \leq 1200$

条件2：花子さんの利用料金が、プランAを利用していたときの1か月の利用料金以下になる。

まず、花子さんのプランCの利用料金$P$を求めます。

$100 \leq x \leq 300$のとき、$P = 5000 + 5(x - 100)$

$x > 300$のとき、$P = 5000 + 5(300 - 100) + 15(x - 300) = 5000 + 1000 + 15x - 4500 = 15x + 1500$

次に、太郎さんのプランBの利用料金$Q$は$Q = 500 + 20x$です。

(a) 条件1について：

$100 \leq x \leq 300$のとき、$|P-Q| = |5000 + 5(x - 100) - (500 + 20x)| = |4500 + 5x - 500 - 20x| = |4000 - 15x|$

$|4000 - 15x| \leq 1200$なので、$-1200 \leq 4000 - 15x \leq 1200$

$-5200 \leq -15x \leq -2800$

$2800 \leq 15x \leq 5200$

$2800/15 \leq x \leq 5200/15$

$186.67 \leq x \leq 346.67$

$x > 300$のとき、$|P-Q| = |15x + 1500 - (500 + 20x)| = |-5x + 1000|$

$|-5x + 1000| \leq 1200$なので、$-1200 \leq -5x + 1000 \leq 1200$

$-2200 \leq -5x \leq 200$

$-200 \leq 5x \leq 2200$

$-40 \leq x \leq 440$

$x$は100以上の自然数なので、$300 < x \leq 440$

(b) 条件2について：

花子さんのプランCの利用料金が、プランAを利用していたときの利用料金以下になるためには、$P_{C} \le P_{A}$である必要があります。

プランAの料金は$P_A = 6000 + 10(x - 240)$ ($x > 240$)

$100 \leq x \leq 300$のとき、$P_C = 5000 + 5(x - 100) = 5000 + 5x - 500 = 4500 + 5x$

$x > 300$のとき、$P_C = 15x + 1500$

$100 \leq x \leq 300$の場合、これは考慮しない（プランAは$x \leq 240$では通話料金が発生しないため）。

$x > 300$の場合，$15x+1500 < 6000+10(x-240)$

$15x+1500 < 6000+10x-2400$

$5x < 2100$

$x < 420$

条件1を満たす$x$の範囲は、$187 \leq x \leq 440$。

条件1と条件2をともに満たす$x$の範囲は、$300 < x \leq 420$

3. 最終的な答え

(1) $x = 340$

(2) $x = 430$

(3) 条件1を満たす$x$の値の範囲：$187 \leq x \leq 440$

条件1、条件2をともに満たす$x$の値の範囲：$300 < x < 420$