ゴリさんは3480円の予算で、1本$p$円のバナナを$x$本、1個60円のリンゴを$y$個購入します。ゴリさんの効用関数は$U(x,y) = xy$で与えられます。効用を最大化するリンゴの購入数量$y$はいくつかを求めます。ただし、$y = 29$個であるというヒントがあります。

1. 問題の内容

ゴリさんは3480円の予算で、1本$p$円のバナナを$x$本、1個60円のリンゴを$y$個購入します。ゴリさんの効用関数は$U(x,y) = xy$で与えられます。効用を最大化するリンゴの購入数量$y$はいくつかを求めます。ただし、$y = 29$個であるというヒントがあります。

2. 解き方の手順

効用最大化問題を解きます。予算制約は$px + 60y = 3480$です。

効用関数は$U(x,y) = xy$です。ラグランジュ関数を以下のように定義します。

$L(x, y, \lambda) = xy + \lambda(3480 - px - 60y)$

以下の連立方程式を解きます。

$\frac{\partial L}{\partial x} = y - \lambda p = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = x - 60\lambda = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 3480 - px - 60y = 0$

最初の2つの式から、

$y = \lambda p$

$x = 60\lambda$

$\lambda = \frac{y}{p} = \frac{x}{60}$

したがって、$x = \frac{60y}{p}$

予算制約に代入すると、

$p(\frac{60y}{p}) + 60y = 3480$

$60y + 60y = 3480$

$120y = 3480$

$y = \frac{3480}{120} = \frac{348}{12} = 29$

y = 29のとき、$x = \frac{60*29}{p}$

予算制約に代入すると

$px+60y = 3480$

$p(\frac{60*29}{p})+60(29)=3480$

$60*29+60*29 = 3480$

$2*60*29 = 3480$

3. 最終的な答え

リンゴの購入数量は$y = 29$個です。