一方を壁に固定されたバネが斜面におかれている状況について、以下の運動方程式を記述する。 (1) 重力を$F_g$、物体が斜面から受ける垂直抗力を$N$、ばねの弾性力を$F_s$として運動方程式を記述する。 (2) 物体の質量を$m$、重力加速度を$g$、ばね定数を$k$、ばねの平衡位置からの変位を$r$として運動方程式を記述する。

1. 問題の内容

一方を壁に固定されたバネが斜面におかれている状況について、以下の運動方程式を記述する。

(1) 重力を$F_g$、物体が斜面から受ける垂直抗力を$N$、ばねの弾性力を$F_s$として運動方程式を記述する。

(2) 物体の質量を$m$、重力加速度を$g$、ばね定数を$k$、ばねの平衡位置からの変位を$r$として運動方程式を記述する。

2. 解き方の手順

(1) 運動方程式は、ニュートンの第二法則 $F=ma$ に基づいて記述します。物体に働く力は、重力 $F_g$、垂直抗力 $N$、およびばねの弾性力 $F_s$ です。これらの力のベクトル和が、物体の質量 $m$ と加速度 $a$ の積に等しくなります。斜面に沿った方向と垂直な方向に分解して考える必要があります。

斜面に沿った方向を$x$軸、斜面に垂直な方向を$y$軸とすると、運動方程式は以下のようになります。

x軸方向： $ma_x = F_{gx} + F_{sx}$

y軸方向： $ma_y = F_{gy} + F_{sy} + N$

ここで、$F_{gx}$と$F_{gy}$は重力$F_g$の$x$軸方向と$y$軸方向の成分、$F_{sx}$と$F_{sy}$は弾性力$F_s$の$x$軸方向と$y$軸方向の成分です。$a_x$と$a_y$は加速度の$x$軸方向と$y$軸方向の成分です。

(2) 同様に、運動方程式を記述します。今度は、ばねの弾性力は$F_s = -kr$で与えられます。重力は$F_g = mg$です。

斜面に沿った方向を$x$軸、斜面に垂直な方向を$y$軸とすると、運動方程式は以下のようになります。

x軸方向： $ma_x = mg_x - kr$

y軸方向： $ma_y = mg_y + N$

ここで、$mg_x$と$mg_y$は重力$mg$の$x$軸方向と$y$軸方向の成分です。$a_x$と$a_y$は加速度の$x$軸方向と$y$軸方向の成分です。

3. 最終的な答え

(1)

$ma_x = F_{gx} + F_{sx}$

$ma_y = F_{gy} + F_{sy} + N$

(2)

$ma_x = mg_x - kr$

$ma_y = mg_y + N$