シリンダー内の理想気体が図示されたサイクルで変化する。気体定数を $R$、定積モル比熱を $C_v$、物質量を $n$、状態Aでの絶対温度を $T_A$とする。 (1) 状態B, C, Dでの気体の絶対温度 $T_B, T_C, T_D$ を求める。 (2) この気体の定圧モル比熱を求める。 (3) 各過程 A→B, B→C, C→D, D→A で気体が得た熱量 $Q_{AB}, Q_{BC}, Q_{CD}, Q_{DA}$ を $n, T_A, C_v, R$ を用いて表す。 (4) 1サイクルの間に気体が外部にした正味の仕事を $n, T_A, R$ を用いて表す。 (5) 1サイクルにおける熱効率 $e$ を $C_v, R$ を用いて表す。

1. 問題の内容

シリンダー内の理想気体が図示されたサイクルで変化する。気体定数を $R$、定積モル比熱を $C_v$、物質量を $n$、状態Aでの絶対温度を $T_A$とする。

(1) 状態B, C, Dでの気体の絶対温度 $T_B, T_C, T_D$ を求める。

(2) この気体の定圧モル比熱を求める。

(3) 各過程 A→B, B→C, C→D, D→A で気体が得た熱量 $Q_{AB}, Q_{BC}, Q_{CD}, Q_{DA}$ を $n, T_A, C_v, R$ を用いて表す。

(4) 1サイクルの間に気体が外部にした正味の仕事を $n, T_A, R$ を用いて表す。

(5) 1サイクルにおける熱効率 $e$ を $C_v, R$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 状態方程式 $PV = nRT$ を用いて各状態の温度を求める。状態Aを基準として、他の状態の温度を計算する。

* 状態A: $P_0V_0 = nRT_A$

* 状態B: $3P_0V_0 = nRT_B \implies T_B = 3T_A$

* 状態C: $3P_0(2V_0) = nRT_C \implies T_C = 6T_A$

* 状態D: $P_0(2V_0) = nRT_D \implies T_D = 2T_A$

(2) 定圧モル比熱 $C_p$ は、$C_p = C_v + R$ の関係がある。

(3) 各過程における熱量を求める。定積過程では $Q = nC_v\Delta T$、定圧過程では $Q = nC_p\Delta T$を用いる。

* A→B (定積): $Q_{AB} = nC_v(T_B - T_A) = nC_v(3T_A - T_A) = 2nC_vT_A$

* B→C (定圧): $Q_{BC} = nC_p(T_C - T_B) = n(C_v + R)(6T_A - 3T_A) = 3n(C_v + R)T_A$

* C→D (定積): $Q_{CD} = nC_v(T_D - T_C) = nC_v(2T_A - 6T_A) = -4nC_vT_A$

* D→A (定圧): $Q_{DA} = nC_p(T_A - T_D) = n(C_v + R)(T_A - 2T_A) = -n(C_v + R)T_A$

(4) 1サイクルにおける正味の仕事 $W$ は、P-V図における囲まれた面積に相当する。

$W = (3P_0 - P_0)(2V_0 - V_0) = 2P_0V_0 = 2nRT_A$

(5) 熱効率 $e$ は、$e = \frac{W}{Q_{in}}$ で計算される。$Q_{in}$ は系が外部から受け取った熱量であり、$Q_{AB}$と$Q_{BC}$が正である。

$Q_{in} = Q_{AB} + Q_{BC} = 2nC_vT_A + 3n(C_v + R)T_A = (5C_v + 3R)nT_A$

$e = \frac{2nRT_A}{(5C_v + 3R)nT_A} = \frac{2R}{5C_v + 3R}$

3. 最終的な答え

(1) $T_B = 3T_A, T_C = 6T_A, T_D = 2T_A$

(2) $C_p = C_v + R$

(3) $Q_{AB} = 2nC_vT_A, Q_{BC} = 3n(C_v + R)T_A, Q_{CD} = -4nC_vT_A, Q_{DA} = -n(C_v + R)T_A$

(4) $W = 2nRT_A$

(5) $e = \frac{2R}{5C_v + 3R}$