加湿器の「強」と「弱」の設定における水の減り方を一次関数とみなして、以下の問いに答える問題です。 (1) 加湿器を「強」で使用したときの $y$ を $x$ の式で表す。 (2) 1050mL給水された加湿器を「強」で60分間使用した後、「弱」に切り替えたとき、タンクの水が完全になくなるまでの時間は、「強」のまま使用したときに比べて何分長くなるかを求める。

1. 問題の内容

加湿器の「強」と「弱」の設定における水の減り方を一次関数とみなして、以下の問いに答える問題です。

(1) 加湿器を「強」で使用したときの $y$ を $x$ の式で表す。

(2) 1050mL給水された加湿器を「強」で60分間使用した後、「弱」に切り替えたとき、タンクの水が完全になくなるまでの時間は、「強」のまま使用したときに比べて何分長くなるかを求める。

2. 解き方の手順

(1) 加湿器を「強」で使用した場合の式を求める。

表Iから、経過時間 $x$ (分) とタンクに残っている水の量 $y$ (mL) の関係がわかります。

$x=0$ のとき $y=1050$ なので、$y=ax+1050$ と表せます。

$x=10$ のとき $y=990$ なので、

$990 = 10a + 1050$

$10a = 990 - 1050 = -60$

$a = -6$

したがって、加湿器を「強」で使用したときの式は $y = -6x + 1050$ となります。

(2)

まず、「強」のまま使用した場合に水が完全になくなるまでの時間を求めます。

$y = -6x + 1050$ で $y=0$ となるとき、$0 = -6x + 1050$ より、$6x = 1050$、$x = 175$ (分)。

次に、加湿器を「強」で60分間使用した後、「弱」に切り替えた場合について考えます。

「強」で60分間使用した後の水の量は、表Iより690mLです。

表IIから、「弱」で使用した場合の水の減り方は、10分あたり30mL減ることがわかります。したがって、「弱」で使用したときの式は、$y = -3x + 1050$（10分あたり30mL減ることから傾きは$-3$なので$y=-3x + b$。表IIから$x=0$のとき、$y=1050$となるので、$b=1050$。よって$y = -3x + 1050$となる）の式を変形すると、

$y = -3(x-0)+1050$

経過時間が0分の時1050mlなので、60分の時を考えると、まず60分後の水の量は$y = -6 \times 60 + 1050 = -360+1050 = 690$。

次に、加湿器を弱で使用した場合を考えると、経過時間$t$分に対して

$y = -3t + 690$

$y=0$となるとき、$0 = -3t + 690$、$3t = 690$、$t = 230$。60分経過しているので、$230-60 = 170$分

「弱」に切り替えてから水がなくなるまでの時間 $t'$ を求めます。初期状態は690mLなので、 $0 = -3t' + 690$ より $3t' = 690$, $t' = 230$分。

したがって、60分後に「弱」に切り替えた場合、水が完全になくなるまでの時間は、60分+230分 = 230分となります。

「強」のまま使用した場合との差は、230 - 175 = 55分です。

3. 最終的な答え

(1) $y = -6x + 1050$

(2) 55分