斜面上に置かれた物体が、壁に固定されたバネに接続されている状況を考える。 (1) 重力$\vec{F_g}$、垂直抗力$\vec{N}$、ばねの弾性力$\vec{F_s}$が働くときの運動方程式を記述する。 (2) 物体の質量を$m$、重力加速度を$g$、ばね定数を$k$、ばねの平衡位置からの変位を$\vec{r}$としたときの運動方程式を記述する。

1. 問題の内容

斜面上に置かれた物体が、壁に固定されたバネに接続されている状況を考える。

(1) 重力$\vec{F_g}$、垂直抗力$\vec{N}$、ばねの弾性力$\vec{F_s}$が働くときの運動方程式を記述する。

(2) 物体の質量を$m$、重力加速度を$g$、ばね定数を$k$、ばねの平衡位置からの変位を$\vec{r}$としたときの運動方程式を記述する。

2. 解き方の手順

斜面に沿った方向を$x$軸、斜面に垂直な方向を$y$軸とする。

(1)

運動量は$\vec{p}$なので、運動方程式は

$\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F_g} + \vec{N} + \vec{F_s}$

となる。

(2)

質量$m$の物体にはたらく力は、重力$m\vec{g}$、垂直抗力$\vec{N}$、弾性力$-k\vec{r}$である。

運動方程式は

$m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = m\vec{g} + \vec{N} - k\vec{r}$

となる。

斜面に沿った方向の単位ベクトルを$\hat{i}$、斜面に垂直な方向の単位ベクトルを$\hat{j}$とする。

斜面の角度を$\theta$とすると、重力は

$m\vec{g} = mg\sin{\theta}\hat{i} - mg\cos{\theta}\hat{j}$

垂直抗力は

$\vec{N} = N\hat{j}$

弾性力は

$-k\vec{r} = -kr\hat{i}$

となる。

したがって、運動方程式は

$m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = (mg\sin{\theta} - kr)\hat{i} + (N - mg\cos{\theta})\hat{j}$

3. 最終的な答え

(1)

$\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F_g} + \vec{N} + \vec{F_s}$

(2)

$m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = m\vec{g} + \vec{N} - k\vec{r}$

もしくは

$m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = (mg\sin{\theta} - kr)\hat{i} + (N - mg\cos{\theta})\hat{j}$