バナナ市場において、価格を $p$ 円、数量を $x$ 万本としたとき、供給関数が $x = \frac{1}{3}p - 18$ 、需要関数が $x = \frac{4320}{p}$ である。均衡取引数量が $x^* = 30$ 万本であることは与えられている。この情報を使って問題を解く。ただし、問題文が一部不明確なため、均衡価格 $p^*$ を求めることを想定して問題を解く。

1. 問題の内容

バナナ市場において、価格を $p$ 円、数量を $x$ 万本としたとき、供給関数が $x = \frac{1}{3}p - 18$ 、需要関数が $x = \frac{4320}{p}$ である。均衡取引数量が $x^* = 30$ 万本であることは与えられている。この情報を使って問題を解く。ただし、問題文が一部不明確なため、均衡価格 $p^*$ を求めることを想定して問題を解く。

2. 解き方の手順

均衡点では、供給量と需要量が一致するため、供給関数と需要関数を等しくする。つまり、

$$\frac{1}{3}p - 18 = \frac{4320}{p}$$

次に、この式を $p$ について解く。まず、両辺に $3p$ をかけて分母を払うと、

$$p^2 - 54p = 12960$$

$$p^2 - 54p - 12960 = 0$$

この2次方程式を解く。解の公式を使うと、

$$p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

ここで、$a = 1$, $b = -54$, $c = -12960$ であるから、

$$p = \frac{54 \pm \sqrt{(-54)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12960)}}{2 \cdot 1}$$

$$p = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 51840}}{2}$$

$$p = \frac{54 \pm \sqrt{54756}}{2}$$

$$p = \frac{54 \pm 234}{2}$$

$$p = 27 \pm 117$$

$p>0$ より、

$$p = 27 + 117 = 144$$

均衡価格は $144$ 円となる。ここで、数量と価格の関係を確認するために、均衡価格をそれぞれの関数に代入する。

供給関数: $x = \frac{1}{3} \times 144 - 18 = 48 - 18 = 30$

需要関数: $x = \frac{4320}{144} = 30$

どちらの関数でも $x = 30$ となり、均衡取引数量は与えられた通り30万本であることがわかる。

3. 最終的な答え

問題文が均衡価格を求めることを意図していると仮定した場合、均衡価格は144円である。

もし問題文が均衡価格を求めるものではなく、問題文に誤りがある場合は、上記の手順で$p$について解いた2次方程式をそのまま記述することで回答とします。

ここでは、上記のとおり均衡価格を求めることを意図しているとして、回答します。

均衡価格は144円です。