予算3480円で1本$p$円のバナナを$x$本、1個60円のリンゴを$y$個購入する。ゴリさんの効用関数が$U(x,y) = xy$であるとき、予算を使い切るときの効用水準が$U = \frac{60y(58-y)}{p}$と表されることを示しなさい。

1. 問題の内容

予算3480円で1本$p$円のバナナを$x$本、1個60円のリンゴを$y$個購入する。ゴリさんの効用関数が$U(x,y) = xy$であるとき、予算を使い切るときの効用水準が$U = \frac{60y(58-y)}{p}$と表されることを示しなさい。

2. 解き方の手順

まず、予算制約式を立てる。

バナナ$x$本の値段は$px$円、リンゴ$y$個の値段は$60y$円である。予算は3480円なので、予算制約式は以下のようになる。

$px + 60y = 3480$

次に、効用関数$U(x,y) = xy$を考える。予算を使い切るという制約条件のもとで、この効用関数を最大化することを考える。予算制約式から$x$を$y$の関数として表す。

$px = 3480 - 60y$

$x = \frac{3480 - 60y}{p}$

この$x$を効用関数に代入する。

$U = xy = \frac{3480 - 60y}{p} \cdot y = \frac{3480y - 60y^2}{p}$

ここで、$3480 = 60 \cdot 58$であるから、

$U = \frac{60 \cdot 58y - 60y^2}{p} = \frac{60y(58 - y)}{p}$

よって、予算を使い切るときの効用水準は$U = \frac{60y(58-y)}{p}$と表すことができる。

3. 最終的な答え

予算を使い切るときの効用水準は $U = \frac{60y(58-y)}{p}$ である。