質量 $m$ の物体が初速度 $v_0$ で $x$ 軸正の方向に運動している。$t=0$ でパラシュートが開き、空気抵抗を受けて減速する。時刻 $t$ における物体の速度 $v(t)$ を求めよ。ただし、$t=0$ で $x=0$ とする。空気抵抗の大きさに関する情報は問題文にはありません。

1. 問題の内容

質量 $m$ の物体が初速度 $v_0$ で $x$ 軸正の方向に運動している。$t=0$ でパラシュートが開き、空気抵抗を受けて減速する。時刻 $t$ における物体の速度 $v(t)$ を求めよ。ただし、$t=0$ で $x=0$ とする。空気抵抗の大きさに関する情報は問題文にはありません。

2. 解き方の手順

問題文に空気抵抗の大きさに関する情報がないため、ここでは空気抵抗が速度に比例する場合（$F = -kv$）と、空気抵抗が速度の2乗に比例する場合（$F = -kv^2$）について考えます。

(1) 空気抵抗が速度に比例する場合（$F = -kv$）

運動方程式は $ma = -kv$ となります。

$a = \frac{dv}{dt}$ なので、$m\frac{dv}{dt} = -kv$ となります。

これを変数分離して積分します。

$\frac{dv}{v} = -\frac{k}{m}dt$

$\int \frac{dv}{v} = \int -\frac{k}{m}dt$

$\ln|v| = -\frac{k}{m}t + C$

$v = e^{-\frac{k}{m}t + C} = e^C e^{-\frac{k}{m}t}$

$t=0$ のとき $v=v_0$ より、$v_0 = e^C$

よって、$v(t) = v_0 e^{-\frac{k}{m}t}$

(2) 空気抵抗が速度の2乗に比例する場合（$F = -kv^2$）

運動方程式は $ma = -kv^2$ となります。

$m\frac{dv}{dt} = -kv^2$

$\frac{dv}{v^2} = -\frac{k}{m}dt$

$\int \frac{dv}{v^2} = \int -\frac{k}{m}dt$

$-\frac{1}{v} = -\frac{k}{m}t + C$

$t=0$ のとき $v=v_0$ より、$-\frac{1}{v_0} = C$

$-\frac{1}{v} = -\frac{k}{m}t - \frac{1}{v_0}$

$\frac{1}{v} = \frac{k}{m}t + \frac{1}{v_0} = \frac{kv_0t + m}{mv_0}$

$v(t) = \frac{mv_0}{kv_0t + m}$

問題文に空気抵抗に関する情報がなければ、例えば、空気抵抗が一定（$F = -f$）のような場合も考えられます。

このとき、$ma = -f$ より、$a = -\frac{f}{m}$ となり、等加速度運動になります。

$v(t) = v_0 - \frac{f}{m}t$ となります。

3. 最終的な答え

空気抵抗が速度に比例する場合：

$v(t) = v_0 e^{-\frac{k}{m}t}$

空気抵抗が速度の2乗に比例する場合：

$v(t) = \frac{mv_0}{kv_0t + m}$

空気抵抗が一定の場合：

$v(t) = v_0 - \frac{f}{m}t$

問題文に条件が不足しているため、上記のように場合分けして回答します。