以下の連立微分方程式の一般解を求めます。 $\begin{cases} \frac{dy}{dt} - 2y - 3z = 0 \\ \frac{dz}{dt} + y + 2z = 0 \end{cases}$

1. 問題の内容

以下の連立微分方程式の一般解を求めます。

$\begin{cases}

\frac{dy}{dt} - 2y - 3z = 0 \\

\frac{dz}{dt} + y + 2z = 0

\end{cases}$

2. 解き方の手順

(1) 演算子法を用いる。$D = \frac{d}{dt}$とおくと、連立微分方程式は次のように書き換えられます。

$\begin{cases}

(D - 2)y - 3z = 0 \\

y + (D + 2)z = 0

\end{cases}$

(2) 2番目の式より $y = -(D+2)z$であるから、これを1番目の式に代入して$y$を消去します。

$(D-2)[-(D+2)z]-3z = 0$

$-(D^2 - 4)z - 3z = 0$

$-D^2 z + 4z - 3z = 0$

$-D^2 z + z = 0$

$D^2 z - z = 0$

$(D^2 - 1)z = 0$

(3) この2階線形同次微分方程式の特性方程式は $\lambda^2 - 1 = 0$ であり、解は $\lambda = \pm 1$ です。したがって、$z(t)$ の一般解は

$z(t) = c_1 e^t + c_2 e^{-t}$

となります。

(4) 次に、$y(t)$を求めます。$y = -(D+2)z$より、

$y(t) = -(D+2)(c_1 e^t + c_2 e^{-t})$

$y(t) = -D(c_1 e^t + c_2 e^{-t}) - 2(c_1 e^t + c_2 e^{-t})$

$y(t) = -(c_1 e^t - c_2 e^{-t}) - 2c_1 e^t - 2c_2 e^{-t}$

$y(t) = -3c_1 e^t + c_2 e^{-t}$

3. 最終的な答え

したがって、連立微分方程式の一般解は、

$\begin{cases}

y(t) = -3c_1 e^t + c_2 e^{-t} \\

z(t) = c_1 e^t + c_2 e^{-t}

\end{cases}$

ただし、$c_1, c_2$ は任意定数。