体積 $3V_0$ の断熱容器Aと体積 $2V_0$ の断熱容器Bが細管で接続されている。容器Aには圧力 $2p_0$, 温度 $T_0$ の単原子分子理想気体が、容器Bには圧力 $p_0$, 温度 $3T_0$ の気体が入っている。コックを開いて十分時間が経過した後の圧力を求める。

1. 問題の内容

体積 $3V_0$ の断熱容器Aと体積 $2V_0$ の断熱容器Bが細管で接続されている。容器Aには圧力 $2p_0$, 温度 $T_0$ の単原子分子理想気体が、容器Bには圧力 $p_0$, 温度 $3T_0$ の気体が入っている。コックを開いて十分時間が経過した後の圧力を求める。

2. 解き方の手順

まず、容器Aと容器Bのそれぞれの気体の物質量を求める。

理想気体の状態方程式 $PV=nRT$ より、

容器Aの物質量 $n_A$ は

$n_A = \frac{2p_0 \cdot 3V_0}{R T_0} = \frac{6p_0V_0}{RT_0}$

容器Bの物質量 $n_B$ は

$n_B = \frac{p_0 \cdot 2V_0}{R \cdot 3T_0} = \frac{2p_0V_0}{3RT_0}$

全体の物質量は $n = n_A + n_B = \frac{6p_0V_0}{RT_0} + \frac{2p_0V_0}{3RT_0} = \frac{18p_0V_0 + 2p_0V_0}{3RT_0} = \frac{20p_0V_0}{3RT_0}$ となる。

次に、コックを開いて十分時間が経った後の温度を求める。

断熱容器であるため、外部との熱のやり取りはない。したがって、内部エネルギーの変化は0である。単原子分子理想気体の内部エネルギーは $\frac{3}{2}nRT$ であるから、

$\frac{3}{2} n_A R T_0 + \frac{3}{2} n_B R (3T_0) = \frac{3}{2} n R T$

$\frac{3}{2} \frac{6p_0V_0}{RT_0} RT_0 + \frac{3}{2} \frac{2p_0V_0}{3RT_0} R (3T_0) = \frac{3}{2} \frac{20p_0V_0}{3RT_0} RT$

$6p_0V_0 + 2p_0V_0 = \frac{20p_0V_0}{3T_0}T$

$8p_0V_0 = \frac{20p_0V_0}{3T_0}T$

$T = \frac{8p_0V_0 \cdot 3T_0}{20p_0V_0} = \frac{24}{20} T_0 = \frac{6}{5} T_0$

最後に、コックを開いて十分時間が経った後の圧力を求める。

全体の体積は $3V_0 + 2V_0 = 5V_0$ であるから、理想気体の状態方程式より

$P \cdot 5V_0 = n R T$

$P = \frac{nRT}{5V_0} = \frac{\frac{20p_0V_0}{3RT_0} R \frac{6}{5} T_0}{5V_0} = \frac{20p_0V_0 \cdot 6 R T_0}{3 R T_0 \cdot 5 \cdot 5V_0} = \frac{20 \cdot 6}{3 \cdot 25} p_0 = \frac{4 \cdot 2}{5} p_0 = \frac{8}{5} p_0$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{5} p_0$