池の周りのジョギングコースをAとBが同じ速さで逆方向に走っており、CはAと同じ方向に歩いています。AはCを12分ごとに追い越し、BはCと8分ごとにすれ違うとき、Aがこの池を1周するのにかかる時間はいくらですか。

1. 問題の内容

池の周りのジョギングコースをAとBが同じ速さで逆方向に走っており、CはAと同じ方向に歩いています。AはCを12分ごとに追い越し、BはCと8分ごとにすれ違うとき、Aがこの池を1周するのにかかる時間はいくらですか。

2. 解き方の手順

A, B, Cの速さをそれぞれ $v_A$, $v_B$, $v_C$ とし、池の周の長さを $L$ とします。

* AはCを12分ごとに追い越すので、相対速度は $v_A - v_C$ であり、次の式が成り立ちます。

$12(v_A - v_C) = L$

* BはCと8分ごとにすれ違うので、相対速度は $v_B + v_C$ であり、次の式が成り立ちます。

$8(v_B + v_C) = L$

また、$v_A = v_B$ であるため、上記2式は以下のようになります。

$12(v_A - v_C) = L$

$8(v_A + v_C) = L$

これらを連立方程式として解きます。

$v_A - v_C = \frac{L}{12}$

$v_A + v_C = \frac{L}{8}$

2つの式を足し合わせると、

$2v_A = \frac{L}{12} + \frac{L}{8} = \frac{2L}{24} + \frac{3L}{24} = \frac{5L}{24}$

したがって、

$v_A = \frac{5L}{48}$

Aが池を1周するのにかかる時間を $t$ とすると、 $v_A t = L$ となります。

$\frac{5L}{48} t = L$

$t = \frac{48}{5} = 9.6$ 分

$0.6$ 分は $0.6 \times 60 = 36$ 秒なので、$t = 9$ 分 $36$ 秒となります。

3. 最終的な答え

9分36秒