問題は、以下の2つのパートに分かれています。 パート1：次の行列式の値を求めよ。 (a) $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 3 \end{vmatrix}$ (b) $\begin{vmatrix} -5 & 0 \\ -6 & 1 \end{vmatrix}$ (c) $\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -1 \end{vmatrix}$ (d) $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$ (e) $\begin{vmatrix} 3 & -4 & 1 \\ 1 & 5 & -3 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix}$ (f) $\begin{vmatrix} 3 & -2 & -5 \\ 2 & 3 & 4 \\ 6 & -1 & 6 \end{vmatrix}$ パート2：$\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ を基本ベクトルとするとき、次の値を求めよ。 (a) $\vec{i} \cdot \vec{i}$ (b) $\vec{j} \cdot \vec{j}$ (c) $\vec{j} \cdot (3\vec{i} - 2\vec{j})$

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は、以下の2つのパートに分かれています。

パート1：次の行列式の値を求めよ。

(a) $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 3 \end{vmatrix}$

(b) $\begin{vmatrix} -5 & 0 \\ -6 & 1 \end{vmatrix}$

(c) $\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -1 \end{vmatrix}$

(d) $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$

(e) $\begin{vmatrix} 3 & -4 & 1 \\ 1 & 5 & -3 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix}$

(f) $\begin{vmatrix} 3 & -2 & -5 \\ 2 & 3 & 4 \\ 6 & -1 & 6 \end{vmatrix}$

パート2：$\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ を基本ベクトルとするとき、次の値を求めよ。

(a) $\vec{i} \cdot \vec{i}$

(b) $\vec{j} \cdot \vec{j}$

(c) $\vec{j} \cdot (3\vec{i} - 2\vec{j})$

2. 解き方の手順

パート1：行列式の計算

(a) 2x2行列 $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$ の行列式は $ad - bc$ で計算できます。

$\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = (2)(3) - (4)(5) = 6 - 20 = -14$

(b) 同様に、

$\begin{vmatrix} -5 & 0 \\ -6 & 1 \end{vmatrix} = (-5)(1) - (0)(-6) = -5 - 0 = -5$

(c) 同様に、

$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -1 \end{vmatrix} = (2)(-1) - (3)(-4) = -2 + 12 = 10$

(d) 3x3行列の行列式は、例えば1行目で展開すると、

$\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - b\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} + c\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix}$

を使って計算できます。

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + 0\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 2(4 - 0) - 1(0 - 1) + 0 = 8 + 1 = 9$

(e) 同様に、

$\begin{vmatrix} 3 & -4 & 1 \\ 1 & 5 & -3 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 3\begin{vmatrix} 5 & -3 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} - (-4)\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 3(-5 - 0) + 4(-1 + 6) + 1(0 - 10) = -15 + 20 - 10 = -5$

(f) 同様に、

$\begin{vmatrix} 3 & -2 & -5 \\ 2 & 3 & 4 \\ 6 & -1 & 6 \end{vmatrix} = 3\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 6 \end{vmatrix} - (-2)\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 6 \end{vmatrix} + (-5)\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 6 & -1 \end{vmatrix} = 3(18 + 4) + 2(12 - 24) - 5(-2 - 18) = 3(22) + 2(-12) - 5(-20) = 66 - 24 + 100 = 142$

パート2：ベクトルの内積

(a) $\vec{i} \cdot \vec{i} = 1$ (同じ単位ベクトルの内積は1)

(b) $\vec{j} \cdot \vec{j} = 1$ (同じ単位ベクトルの内積は1)

(c) $\vec{j} \cdot (3\vec{i} - 2\vec{j}) = 3(\vec{j} \cdot \vec{i}) - 2(\vec{j} \cdot \vec{j}) = 3(0) - 2(1) = -2$ (異なる単位ベクトルの内積は0)

3. 最終的な答え

(a) -14

(b) -5

(c) 10

(d) 9

(e) -5

(f) 142

(a) 1

(b) 1

(c) -2