与えられた式 $(b+c)a^2 + (c+a)b^2 + (a+b)c^2 + 3abc$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(b+c)a^2 + (c+a)b^2 + (a+b)c^2 + 3abc$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、同類項をまとめ、因数分解を行います。

まず、式を展開します。

$(b+c)a^2 + (c+a)b^2 + (a+b)c^2 + 3abc = ba^2 + ca^2 + cb^2 + ab^2 + ac^2 + bc^2 + 3abc$

次に、式を整理します。

$ba^2 + ca^2 + cb^2 + ab^2 + ac^2 + bc^2 + 3abc = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc$

$a$について整理すると、

$a^2(b+c) + a(b^2+c^2+3bc) + (b^2c+c^2b)$

$=a^2(b+c) + a(b^2+c^2+2bc+bc) + bc(b+c)$

$=a^2(b+c) + a((b+c)^2+bc) + bc(b+c)$

$=(b+c)[a^2 + a(b+c) + bc] + abc$

$=(b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

$=(b+c)[a(a+b) + c(a+b)]$

$=(b+c)(a+b)(a+c)$

$=(a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$