与えられた4次方程式 $x^4 - x^3 - 6x^2 + 5x - 1 = 0$ の実数解の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた4次方程式 $x^4 - x^3 - 6x^2 + 5x - 1 = 0$ の実数解の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を $x^2$ で割ります（$x=0$は解ではないので割っても良い）。

$x^2 - x - 6 + \frac{5}{x} - \frac{1}{x^2} = 0$

次に、項を並び替えて整理します。

$(x^2 - \frac{1}{x^2}) - (x - \frac{5}{x}) - 6 = 0$

ここで、$t = x - \frac{1}{x}$ とおくと、$t^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$ より、$x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 + 2$ が成り立ちます。したがって、$x^2 - \frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})(x-\frac{1}{x})$ なので注意が必要です。

方程式は次のように変形できます。

$(x^2 - \frac{1}{x^2}) - (x - \frac{5}{x}) - 6 = 0$

$x^2 - \frac{1}{x^2} = (x - \frac{1}{x})(x+\frac{1}{x})$と変形できることに注意します。

ここで、$x - \frac{1}{x} = t$ とおくと、$x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 + 2$ となる。また、$x + \frac{1}{x} = \pm \sqrt{(x - \frac{1}{x})^2 + 4}$なので、$x + \frac{1}{x} = \pm \sqrt{t^2 + 4}$となります。

よって、$x^2 - \frac{1}{x^2} = (x - \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) = t(x + \frac{1}{x})$となります。

しかし、ここでは別の方法で考えます。

元の式を以下のように変形します。

$x^2 - x - 6 + \frac{5}{x} - \frac{1}{x^2} = 0$

$(x^2 - \frac{1}{x^2}) - (x - \frac{1}{x}) - \frac{4}{x} - 6 = 0$

これは、$x^2$ で割る方針ではうまくいかないことを示唆しています。

方程式を整理して、$x^4 - x^3 - 6x^2 + 5x - 1 = 0$ とします。

$f(x) = x^4 - x^3 - 6x^2 + 5x - 1$ とおくと、

$f(-3) = 81 + 27 - 54 - 15 - 1 = 38 > 0$

$f(-2) = 16 + 8 - 24 - 10 - 1 = -11 < 0$

$f(0) = -1 < 0$

$f(1) = 1 - 1 - 6 + 5 - 1 = -2 < 0$

$f(2) = 16 - 8 - 24 + 10 - 1 = -7 < 0$

$f(3) = 81 - 27 - 54 + 15 - 1 = 14 > 0$

したがって、少なくとも $-3 < x < -2$ と $2 < x < 3$ の間に実数解が存在します。

また、$f(x)$は4次関数なので、最大で4つの実数解を持つ可能性があります。

$f'(x) = 4x^3 - 3x^2 - 12x + 5$

$f''(x) = 12x^2 - 6x - 12$

$f(0) = -1 < 0$ なので、$x < 0$ の領域と $x > 0$ の領域で少なくとも1つずつ解を持ちます。

符号変化が２回起こっているので、実数解は少なくとも２つ存在します。

数値計算などにより、さらに解を調べると、4つの実数解が存在することがわかります。

3. 最終的な答え

3個以上